Question

已知拋物線y＝x²＋4x＋m(m為常數)經過點(0，4)

(1)求m的值；

(2)將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸(設為直線l₂)與平移前的拋物線的對稱軸(設為l₁)關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為－8．

①試求平移后的拋物線所對應的函數關系式；

②試問在平移后的拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l₂被⊙P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依題意得：02＋4×0＋m＝4，解得m＝4　　(3分) 　　(2)①由(1)得：y＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2，∴對稱軸為直線l1：x＝－2　　(4分) 　　依題意得平移后的拋物線的對稱軸為直線直線l2：x＝2　　(5分) 　　故設平移后的拋物線所對應的函數關系式為y＝(x－2)2＋k　　(6分) 　　∵此函數最小值為－8，∴k＝－8 　　即平移后的拋物線所對應的函數關系式為y＝(x－2)2－8＝x2－4x－4　　(7分) 　　②存在．理由如下： 　　由①知平移后的拋物線的對稱軸為直線l2：x＝2 　　當點P在x軸上方時，∵⊙P與x軸相切，故令y＝x2－4x－4＝3， 　　解得x＝2±　　(8分) 　　此時點P1(2＋，3)，P2(2－，3)與直線x＝2之距均為， 　　故點P1、P2不合題意，應舍去．　　(9分) 　　當點P在x軸下方時，∵⊙P與x軸相切，故令y＝x2－4x－4＝－3， 　　解得x＝2±　　(10分) 　　此時點P3(2＋，－3)，P4(2－，－3)與直線x＝2之距均為， 　　∵＜3，∴⊙P3、⊙P4均與直線l2：x＝2相間， 　　故點P3、P4符合題意．　　(11分) 　　此時弦AB＝2× 　　綜上，點P的坐標為(2＋，－3)或(2－，－3)， 　　直線l2被⊙P所截得的弦AB的長為4　　(13分)