Question

【題目】“創科集團”會議室內的一個長為6米、寬為4米的矩形ABCD墻面需要進行裝飾，設計圖案如圖所示，將矩形ABCD墻面分割成3個區域，中間“十”字形區域甲的寬度均為1米，四個角為四個全等的直角三角形，△AEF，△BGH，△CMN，△DPQ為區域乙，剩下部分為區域丙，其中AE=BG=CN=DP，設EG=HM=NP=FQ=x(米)(1≤x≤3)

（1）當x=2時，求區域乙的面積；

（2）求區域丙的面積的最大值；

（3）為了圖案富有美感，設置區域乙與區域丙的面積之比為1：4，在區域甲、區域乙、區域丙分別嵌貼甲、乙、丙三種不同的裝飾板，這三種裝飾板每平方米的單價分別為a(百元)，b(百元)，c(百元)(a，b，c均為整數，且6<a<10)，若a+b+c=20，整個墻面嵌貼共花費了150(百元)，求三種裝飾板每平方米的單價．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）13.5平方米；（3）三種裝飾板每平方米的單價分別為9(百元)，7(百元)，4(百元)

【解析】

（1）由x=2可得到AE，AF的長，利用三角形的面積公式求出△AEF的面積，然后可得到區域乙的面積；

（2）利用矩形ABCD的面積和區域甲的面積，求出區域乙的面積，再列出區域丙的面積與x的函數解析式，將函數解析式轉化為頂點式，利用二次函數的性質，即可求出區域丙的最大面積；

（3）利用已知求出區域甲、區域乙、區域丙的面積分別為9，3，12，由此可建立關于a，b，c的方程組，解方程組，用含a的代數式表示出c，即可求出a的取值范圍，由此可確定出a，b，c的值.

（1）解：當x=2時，AE=1，AF=2，

∴△AEF的面積為1，

∴區域乙的面積為4；

（2）解：矩形ABCD的面積為24， 區域甲的面積為9，

區域乙的面積為=x2-5x+12，

設區域丙的面積為y，則y=24-（x2-5x+12）-9，

整理得：y=-(x-5)2+15.5，

∵1≤x≤3，

∴當x=3時，y最大，最大值為13.5，

∴區域丙的面積的最大值為13.5平方米；

（3）解：∵區域乙與區域丙的面積之比為1∶4，區域乙與區域丙的面積之和等于15，

∴區域甲、區域乙、區域丙的面積分別為9，3，12，

根據題意，得 ，

消去b，整理可得：c=10-a.

∵a，b，c均為整數，且6<a<10，

∴a=9，b=7，c=4，

∴三種裝飾板每平方米的單價分別為9(百元)，7(百元)，4(百元).