Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，頂點為.

(1)求拋物線的解析式及點坐標；

(2)在直線上是否存在一點，使點到點的距離與到點的距離之和最��？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在軸上取一動點，，過點作軸的垂線，分別交拋物線，，于點，，.

①判斷線段與的數量關系，并說明理由

②連接，，，當為何值時，四邊形的面積最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】(1)，點坐標為；(2)點的坐標為；(3)①；②當為-2時，四邊形的面積最大，最大值為4.

【解析】

（1）用待定系數法即可求出拋物線解析式，然后化為頂點式求出點D的坐標即可；

（2）利用軸對稱-最短路徑方法確定點M，然后用待定系數法求出直線AC的解析式，進而可求出點M的坐標；

（3）①先求出直線AD的解析式，表示出點F、G、P的坐標，進而表示出FG和FP的長度，然后即可判斷出線段與的數量關系；

②根據割補法分別求出△AED和△ACD的面積，然后根據列出二次函數解析式，利用二次函數的性質求解即可.

解：(1)由拋物線與軸交于，兩點得，

解得，

故拋物線解析式為，

由得點坐標為；

(2)在直線上存在一點，到點的距離與到點的距離之和最小.

根據拋物線對稱性，

∴，

∴使的值最小的點應為直線與對稱軸的交點，

當時，，

∴，

設直線解析式為直線，

把、分別代入得

，解之得：，

∴直線解析式為，

把代入得，，

∴，

即當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為；

(3)①，

理由為：

設直線解析式為，

把、分別代入直線得

，解之得：，

∴直線解析式為，

則點的坐標為，

同理的坐標為，

則，，

∴；

②∵， ，，

∴AO=3，DM=2，

∴S△ACD=S△ADM+S△CDM=.

設點的坐標為，

，

∴

，

∴當為-2時，的最大值為1.

∴，

∴當為-2時，四邊形的面積最大，最大值為4.