Question

【題目】A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，P是x軸上一動點，從原點O出發，沿正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）若AB∥x軸，求t的值；
（2）設點B的坐標為（x，y），試求y關于x的函數表達式；
（3）當t=3時，平面直角坐標系內有一點M（3，a），請直接寫出使△APM為等腰三角形的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點B作BC⊥x軸于點C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4

（2）

解：∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中， ，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵點A（0，4），點P（t，0），點B（x，y），

∴PC=AO=4，BC=PO=t=y，CO=PC+PO=4+y=x，

∴y=x﹣4

（3）

解：△APM為等腰三角形分三種情況：

①當AM=AP時，如圖2所示．

當t=3時，點P（3，0），

∵點M（3，a），點A（0，4），

∴由兩點間的距離公式可知：

AM= ，AP= =5，

∴ =5，解得：a=0（舍去），a=8．

此時M點的坐標為（3，8）；

②當MA=MP時，如圖3所示．

∵點P（3，0），點A（0，4），點M（3，a），

∴由兩點間的距離公式可知：

MA= ，MP=a，

∴ =a，解得：a= ．

此時M點的坐標為（3， ）；

③當PA=PM時，如圖4所示．

∵點P（3，0），點A（0，4），點M（3，a），

∴由兩點間的距離公式可知：

PA= =5，PM=|a|，

∴a=±5．

此時M點的坐標為（3，5）或（3，﹣5）．

綜上可知：當t=3時，平面直角坐標系內有一點M（3，a），使△APM為等腰三角形的點M的坐標為（3，8），（3， ），（3，5）和（3，﹣5）

【解析】（1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長方形，再根據△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結論；（2）先證出△PAO≌△BPC，即可得出各邊的關系，利用坐標系中點的意義即可得出個線段的長度，由相等的量可得出結論；（3）由等腰三角形的性質可知，若△APM為等腰三角形只需找到一組臨邊相等即可，臨邊相等分三種情況，分類討論結合兩點間的距離公式即可得出結論．