Question

已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，點D為AB邊的中點，∠EDF=60°，DE、DF分別交AC、BC于E、F點．
（1）如圖1，若EF∥AB．求證：DE=DF．
（2）如圖2，若EF與AB不平行．則問題（1）的結論是否成立？說明理由．

Answer 1

（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC=∠A=30°．
∠EFC=∠B=30°
∴EC=CF．
又∵AC=BC
∴AE=BF
D是AB中點．
∴DB=AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE=DF

（2）過D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
又∵∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=30°，
∴∠ADM=∠BDN=60°，
∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°．
∵AC=BC、AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DM=DN．
由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：
一、當M與E重合時，N就一定與F重合．此時：
DM=DE、DN=DF，結合證得的DM=DN，得：DE=DF．
二、當M落在C、E之間時，N就一定落在B、F之間．此時：
∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF，
∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF．
三、當M落在A、E之間時，N就一定落在C、F之間．此時：
∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN，
∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN，
∴∠EDM=∠FDN，
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE=DF．
綜上一、二、三所述，得：DE=DF．