Question

【題目】如果一個正整數能表示成兩個連續偶數的平方差，那么這個正整數為“神秘數”.

如：

因此，4，12，20這三個數都是神秘數.

（1）28和2012這兩個數是不是神秘數？為什么？

（2）設兩個連續偶數為和(其中為非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數，請說明理由.

（3）兩個連續奇數的平方差（取正數）是不是神秘數？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)28和2012是神秘數（2）是4的倍數（3）8k不能整除8k+4

【解析】試題分析：（1）根據“神秘數”的定義，只需看能否把28和2012這兩個數寫成兩個連續偶數的平方差即可判斷；

（2）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可；

（3）運用平方差公式進行計算，進而判斷即可．

試題解析：1、28=4×7=8-6

2012=4×503=504-502

∴這兩個數都是神秘數

2、 （2k+2）-（2k）

=（2k+2-2k）（2k+2+2k）

=2×[2（k+1+k）]

=4（2k+1）

∴由2k+2和2k構造的神秘數是4的倍數

3、設兩個連續奇數為2k+1和2k-1，

則（2k+1）-（2k-1）

=（2k+1+2k-1）（2k+1-2k+1）

=4k×2

=8k，

∴兩個連續奇數的平方差不是神秘數