Question

【題目】數學著作《算術研究》一書中，對于任意實數，通常用x 表示不超過 x 的最大整數，如 3 ， 2 2 ， 2.1 3 。給出如下結論：①x x ；②若x n ，則 x 的取值范圍是 n x n 1 ；③當1 x 1 時， 1 x 1 x 的值為 1 或 2；④ x 2.75 是方程 4x 2x 5 0 的唯一一個解。其中正確的結論有（ ）

A.①②B.②③C.①③D.③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①可舉反例；②可根據題意中的規定判斷；③當-1＜x＜0，x=0，0＜x＜1時，分類討論得結論；④根據x的取值范圍，求出方程的解后判斷．

解：因為[-3.1]=-4≠-3，所以[-x]≠-x，故①錯誤；
若[x]=n，則x的取值范圍是n≤x＜n+1，故②是正確的；
當-1＜x＜0時，[1+x]+[1-x]=0+1=1，
當x=0時，[1+x]+[1-x]=1+1=2，
當0＜x＜1時，[1+x]+[1-x]=1+0=1，綜上③是正確的；
由題意，得0≤x-[x]＜1，
4x-2[x]+5=0，
2x-[x]+=0，
x-[x]=-x-，
∴0≤-x-＜1，
∴-3.5＜x≤-2.5．
當-3.5＜x＜-3時，方程變形為4x-2×（-4）+5=0，
解得x=-3.25；
當-3≤x≤-2.5時，方程變形為4x-2×（-3）+5=0，
解得x=-2.75；
所以-3.25與-2.75都是方程4x-2[x]+5=0的解．故④是錯誤的．
故選：B．