【題目】如圖,在△OAB中,OA=OB,C為AB中點,以O為圓心,OC長為半徑作圓, AO與⊙O交于點E,直線OB與⊙O交于點F和D,連接EF.CF,CF與OA交于點G.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)求證:ODEG=OGEF;
(3)若AB=4BD,求sinA的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)利用等腰三角形的性質,證明OC⊥AB即可;
(2)證明OC∥EG,推出△GOC∽△GEF即可解決問題;
(3)根據勾股定理和三角函數解答即可.
證明:(1)∵OA=OB,AC=BC,
∴OC⊥AB,
∴⊙O是AB的切線.
(2)∵OA=OB,AC=BC,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OE=OF,
∴∠OFE=∠OEF,
∵∠AOB=∠OFE+∠OEF,
∴∠AOC=∠OEF,
∴OC∥EF,
∴△GOC∽△GEF,
∴,
∵OD=OC,
∴ODEG=OGEF.
(3)∵AB=4BD,
∴BC=2BD,設BD=m,BC=2m,OC=OD=r,
在Rt△BOC中,∵OB2=OC2+BC2,
即(r+m)2=r2+(2m)2,
解得:r=1.5m,OB=2.5m,
∴sinA=sinB=.
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【題目】如圖,對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A(-1,0),C(0,5)兩點,與x軸另一交點為B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),點P是第一象限內的拋物線上的動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當a=1時,求四邊形MEFP面積的最大值,并求此時點P的坐標;
(3)若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形,求a為何值時,四邊形PMEF周長最?請說明理由.
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【題目】甲、乙兩人在玩轉盤游戲時,把兩個可以自由轉動的轉盤A,B都分成3等份的扇形區域,并在每一小區域內標上數字(如圖所示),游戲規則:同時轉動兩個轉盤,當轉盤停止后,若指針所指兩個區域的數字之和為3的倍數,則甲獲勝;若指針所指兩個區域的數字之和為4的倍數,則乙獲勝.如果指針落在分割線上,則需要重新轉動轉盤.請問這個游戲對甲、乙雙方公平嗎?說明理由.
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【題目】如圖,在一條河的北岸有兩個目標M、N,現在位于它的對岸設定兩個觀測點A、B.已知AB∥MN,在A點測得∠MAB=60°,在B點測得∠MBA=45°,AB=600米.
(1)求點M到AB的距離;(結果保留根號)
(2)在B點又測得∠NBA=53°,求MN的長.(結果精確到1米)
(參考數據:≈1.732,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33,cot53°≈0.75)
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【題目】如圖,△ABC與△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.給出下列結論:①AF=AC;②DF=CF;③∠AFC=∠C;④∠BFD=∠CAF.
其中正確的結論個數有. ( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】為響應“綠色出行”的號召,小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點,他乘坐公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程的
倍還多
.他從家出發到上班地點,乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的
.
(1)小王用自駕車上班平均每小時行駛多少千米?
(2)上周五,小王上班時先步行了,然后乘公交車前往,共用
小時到達.求他步行的速度.
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【題目】如圖,已知等腰直角三角形中,
、
、
分別為邊
、
、
的中點,點
為斜邊
所在直線上一動點,且三角形
為等腰直角三角形(
,
、
、
呈逆時針).
如圖
點
在邊
上,判斷
和
的數量和位置關系,請直接寫出你的結論.
如圖
點
在
點左側時;如圖
,點
在
點右側.其他條件不變,
中結論是否仍然成立,并選擇圖
或圖
的一種情況來說明理由.
在圖
中若
,連接
,請猜測
與
的數量關系,即
________
.(用含
的三角函數的式子表示)
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【題目】某地地震牽動著全國人民的心,某單位開展了“一方有難,八方支援”賑災捐款活動.第一天收到捐款元,第三天收到捐款
元.
如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率?
按照
中收到捐款的增長率不變,該單位三天一共能收到多少捐款?
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