Question

如圖，在⊙O的內接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，過C作AB的垂線l交⊙O于另一點D，垂足為E.設P是 上異于A,C的一個動點，射線AP交l于點F，連接PC與PD，PD交AB于點G.
（1）求證：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，，求PD的長；
（3）在點P運動過程中，設，求與之間的函數關系式.（不要求寫出的取值范圍）

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）應用圓周角定理證明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可證明結論.
（2）由AC=2BC，設，應用勾股定理即可求得BC，AC的長，則由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的長，由可知△APB是等腰直角三角形，從而可求得PA的長，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，從而求得DF的長，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的長.
（3）連接BP，BD，AD，根據圓的對稱性，可得，由角的轉換可得，由△AGP∽△DGB可得 ，由△AGD∽△PGB可得，兩式相乘可得結果.
試題解析：（1）由APCB內接于圓O，得∠FPC＝∠B，
又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.
∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.
又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.
（2）連接BP，設，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.
∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.
∵AB⊥CD，∴.
如圖，連接BP，
∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由（1）△PAC∽△PDF得，即.
∴PD的長為.
（3）如圖，連接BP，BD，AD，
∵AC=2BC，∴根據圓的對稱性，得AD=2DB，即.
∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.
∵，∴.
∵△AGP∽△DGB，∴.
∵△AGD∽△PGB，∴.
∴，即.
∵，∴.
∴與之間的函數關系式為.