Question

如圖，四邊形ABDC、CDFE、EFHG都是正方形．
（1）求證：△ADF∽△HAD；
（2）利用上述結論，求證：∠AFB+∠AHB=45°．

Answer 1

分析：（1）如果要求證△ADF和△HDA相似，通過圖象我們可以知道它們有公共角，只要得到

AD

DF

=

DH

AD

即可，設正方形的邊長為1，求出AD，DF，DH的長度即可，
（2）根據（1）的結論推出相等的對應角，根據三角形外角的性質得出∠ADB=∠DAF+∠AFD，而根據已知條件很容易就可得到∠ADB的等于45°，然后通過等量代換就可以推出∠AFB+∠AHB=45°

解答：（1）證明：設正方形ABDC、CDFE、EFHG的邊長為1，
則AD=

2

，DF=1，DH=2，
∵

2

1

=

2

2

，
∴

AD

DF

=

DH

AD

，
又∵∠ADF=∠HDA
∴△ADF∽△HDA；

（2）證明：∵△ADF∽△HDA，
∴∠AHB=∠DAF，
∵ABDC是正方形，
∴AB=BD，△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，
又∵∠ADB=∠DAF+∠AFD，
∴∠AFB+∠AHB=45°．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的定義和性質、正方形的性質等知識點，解題的關鍵是通過設正方形的邊長求出三角形相似，然后再求證其他的結論就容易多了