Question

【題目】如圖，拋物線y=-(x+k)(x-5)交x軸于點A、B（A左B右），交y軸交于點C，BD⊥AC垂足為D，BD與OC交于點E，且CE=4OE.

⑴如圖1，求拋物線的解析式；

⑵如圖2，點M為拋物線的頂點,MH⊥x軸,垂足為H,點P為第一象限MH右側拋物線上一點,PN⊥x軸于點N,PA交MH于點F,FG⊥PN于點G,求tan∠GBN的值；

⑶如圖3，在⑵的條件下，過點P作BG的平行線交直線BC于點S，點T為直線PS上一點，TC交拋物線于點Q，若CQ=QT，TS=，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）3；（3）P1(3,8),P2(4,5)

【解析】

（1）通過證明△OCA≌△OBE得OC=OB,從而求出k的值，故可得解.

(2) 由y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9知對稱軸x=2,AH=3. 設P(m,-m2+4m+5)，得tan∠PAN==，由FH=3(5-m)=GN,BN=5-m得tan∠GBN=3；

（3）設Q（t,-t2+4t+5），T(x,y)，由QC=QT得T(2t,-2t2+8t-5)；過點T、S分別作x軸、y軸的平行線，相較于點K，易求TK=4,KS=12，得S(2t+4,-2t2+8t-7)，設直線BC解析式為y=k1x+b,得y=-x+5，作SL⊥PN,tan∠PSL=tan∠1=3，設P（m,-m2+4m+5）則PL=3LS,求得m1=3,m2=4，得P1(3,8),P2(4,5).

(1)令y=0,則x=5,x=-k

∴A(-k,0),B(5,0),C(0,5k)；

∴OC=5k,OA=k,

∵OC=5OE,

∴OE=k=OA,

∴△OCA≌△OBE,

∴OC=OB,

∴5k=5,

∴k=1，

∴拋物線為：y=-x2+4x+5；

（2）y=-x2+4x+5=（x+2）2+1

∴對稱軸x=2,AH=3,；

設P(m,-m2+4m+5)

tan∠PAN===5-m=

∴FH=3(5-m)=GN,BN=5-m.；

∴tan∠GBN==3；

(3)設Q（t,-t2+4t+5）,C(0,5),

∵QC=QT，

∴Qx-Cx=Tx-Qx,Qy-Cy=Ty-Qy

設T(x,y)

∴t-0=x-t

-t2+4t+5-5=y- (-t2+4t+5)

∴x=2t,y=-2t2+8t-5,∴T(2t,-2t2+8t-5)；

過點T、S分別作x軸、y軸的平行線，相較于點K

∴∠TKS=90°

∵PS∥BG

∴∠GBN=∠1=∠KTS,∴tan∠KTS=3

∵TS=4,∴TK=4,KS=12

∴S(2t+4,-2t2+8t-7)；

設直線BC解析式為：y=k1x+b,B(5,0),C(0,5)

∴y=-x+5；

∵-2t2+8t-7=2t-4+5,t2-5t+4=0,t1=1,t2=4(舍)，

∴S(6,-1)；

作SL⊥PN,tan∠PSL=tan∠1=3

設P（m,-m2+4m+5）則PL=-m2+4m+5+1=-m2+4m+6,SL=6-m

∴PL=3LS,

∴-m2+4m+6=18-3m,m2-7m+12=0,

∴m1=3,m2=4

∴P1(3,8),P2(4,5)