Question

在邊長為1的正方形內任給五點，則必有兩點，它們之間的距離不大于

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．

Answer 1

分析：由抽屜原則，顯然我們應將這五點放入四個合適的抽屜中，且每個抽屜中任兩個點的距離都不超過

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．于是我們可以通過連接正方形兩組對邊的中點，從而將其分割成長度為

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的四個小正方形來構造“抽屜”，即可證得．

解答：解：由抽屜原則，顯然我們應將這五點放入四個合適的抽屜中，且每個抽屜中任兩個點的距離都不超過

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．于是我們可以通過連接正方形兩組對邊的中點，從而將其分割成長度為

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的四個小正方形來構造“抽屜”．這樣，任意的五個點中必有兩個點一定在同一個小正方形內，如圖所示，而每一個小正方形內兩點間的最大距離就是

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．因此，在同一個小正方形內的兩個點的距離一定不大于

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．于是命題得證．

這里，特別值得一提的是，并不是任意與幾何圖形有關的命題在構造抽屜時都一定得將圖形等分（見下面的例9）．事實上，就本例來講，如果將原正方形的兩條對角線連接起來，也將原正方形四等分了，但是對于原命題的證明是沒有任何原助的．因為這時如果兩點恰好位于正方形的相鄰的兩個頂點處，這樣的兩個點也可以在一個抽屜內，但是這兩個點的距離卻不大于

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，顯然與原命題的要求不符．

點評：本題考查抽屜原理的應用，難度較大．抽屜原理在競賽題中經常用到，同學們要注意掌握．