Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC上一個動點（不與B、C重合），在AC上取E點，使∠ADE=45°．

（1）試判斷△ABD與△DCE是否相似并說明理由；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式；并指出當點D在BC上運動（不與B、C重合）時，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由；

（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）△ABD與△DCE相似，理由見；（2）x=時，y有最小值，最小值為；（3）當△ADE是等腰三角形時，AE的長為2﹣或

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質及三角形內角與外角的關系，易證△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，對應邊成比例及等腰直角三角形的性質可求出y與x的函數關系式，根據函數圖象的頂點坐標可求出其最小值．
（3）當△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論．

解：（1）△ABD與△DCE相似

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠C=∠ADE=45°

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE

∴，

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y

∴，y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，

當x=時，y有最小值，最小值為；

（3）當AD=DE時，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1﹣y，即x﹣x2=x，

∵x≠0，

∴x=﹣1

∴AE=1﹣x=2﹣，

當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，

所以，AE=；

當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；

綜上，當△ADE是等腰三角形時，AE的長為2﹣或．