Question

（2011•成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
設OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，
由_△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去負值），
∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將C點坐標代入，得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣5），
即y=x²﹣4x﹣5；
（2）設E點坐標為（m，m²﹣4m﹣5），拋物線對稱軸為x=2，
由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m²﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m²﹣4m﹣5，
解得m=1±或m=3±，
∵m＞2，∴m=1+或m=3+，
邊長EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x﹣5，
依題意，直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7，
聯立，，
解得或，
∴M點的坐標為（﹣2，7），（7，16）．

解析