Question

如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分別在x，y軸上，點0在OA上，且CD=AD，
（1）求直線CD的解析式；
（2）求經過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）在上述拋物線上位于x軸下方的圖象上，是否存在一點P，使△PBC的面積等于矩形的面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）設OD=x，則CD=AD=8-x．
∴（8-x）²-x²=16．
∴x=3，D的坐標是（3，O），
又點C的坐標是（0，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
于是有，
∴y=-x+4．

（2）由題意得B、C，D三點坐標分別為（8，4），（0，4）．（3，O），設拋物線解析式為y=ax²+bx+c
則有
于是可得拋物線解析式為：y=x²-x+4．

（3）在拋物線上不存在一點P，使△PBC的面積等于矩形ABCD的面積．
理由是：由拋物線的對稱性可知．以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大．
由y= x²- x+4= （x-4）²- 可得，頂點坐標為（4，- ）．
則△PBC的高為4+|-|=．
∴△PBC的面積為×8×= 小于矩形ABCD的面積為4×8=32．
故在x軸下方且在拋物線上不存在一點P，使△PBC的面積等于矩形ABCD的面積．
分析：（1）根據D的坐標是（3，O），點C的坐標是（0，4），代入解析式即可得出直線CD的解析式為y=kx+b，求出即可；
（2）利用B、C，D三點坐標分別為（8，4），（0，4）．（3，O），得出拋物線解析式求出即可；
（3）由拋物線的對稱性可知．以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大，進而得出答案即可．
點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數與二次函數解析式，利用已知得出以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大求出是解決問題的關鍵．