Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（ ）.

①作出AD的依據是SAS；②∠ADC=60°

③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABD=1：2．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據作圖的過程可以判定作出AD的依據；

②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質來求∠ADC的度數；

③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的中垂線上；

④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比．

解：①根據作圖的過程可知，作出AD的依據是SSS；

故①錯誤；

②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正確；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴點D在AB的中垂線上．

故③正確；

④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴AD=2CD，

∴BD=2CD，

∵S△DAC=ACCD，S△ABD=ACBD，

∴S△DAC：S△ABD=ACCD：ACBD =CD：BD=1：2，

即S△DAC：S△ABD=1：2．

故④正確．

綜上所述，正確的結論是：②③④，共有3個．

故選C．