Question

【題目】如圖，在矩形中，，，是上的一個動點．

(1)如圖1，連接，是對角線的中點，連接．當時，求的長；

(2)如圖2，連接，過點作交于點，連接，與交于點．當平分時，求的長；

(3)如圖3，連接，點在上，將矩形沿直線折疊，折疊后點落在上的點處，過點作于點，與交于點，且．

①求的值；

②連接，與是否相似？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)①；②相似，理由見解析.

【解析】

（1）先求出BD，進而求出OD=OB=OA，再判斷出△ODE∽△ADO，即可得出結論；
（2）先判斷出△AEF≌△DCE，進而求出BF=1，再判斷出△CHG∽△CBF，進而求出，最后用勾股定理即可得出結論；
（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根據勾股定理求出DH=，CH=，再判斷出△EMN∽△EHD，得出，△ED'M∽△ECH，得出，進而得出，即可得出結論；
②先判斷出∠MD'H=∠NED'，進而判斷出∠MD'H=∠ECB，即可得出，即可．

(1)如圖1，連接，在矩形中，，，

在中，根據勾股定理得，，

∵是中點，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∴，

∴設，

∴，

∴，

∴，

即：；

(2)如圖2，在矩形中，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴≌，

∴，

∴，

過點作于，

∴，

∴，，

∵，

∴∽，

∴，

設，

∴，

∴，

∴，

在中，；

(3)①在矩形中，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

由折疊知，，，，

∴，

設，

∴，

根據勾股定理得，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，

∴，

∴，

∴；

②相似，理由：由折疊知，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴∽．