Question

如圖．在平面直角坐標系中，邊長為的正方形ABCD的頂點A、B在x軸上，連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上，BF與AD交于點E．

（1）求證：△OAD≌△EAB；
（2）求過點O、E、B的拋物線所表示的二次函數解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，其關于直線BF的對稱點在x軸上？若有，求出點P的坐標；
（4）連接OE，若點M是直線BF上的一動點，且△BMD與△OED相似，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）證明：如答圖1所示，連接ID，IO，

∵I為△BOD的外心，∴IO=ID。
又F為OD的中點，∴IF⊥OD。
∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°。
又∠DEF=∠AEB，∴∠EDF=∠EBA。
又∵DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，
∴△OAD≌△EAB（AAS）。
（2）由（1）知IF⊥OD，又BF為中線，
∴BO=BD=AB=2。∴OA=BO﹣AB=。
由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=。
∴E（，），B（2，0）。
設過點O、B、E的拋物線解析式為y=ax²+bx，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（3）∵直線BD與x軸關于直線BF對稱，∴拋物線與直線BD的交點，即為所求之點P。
由（2）可知，B（2，0），D（，），可得直線BD的解析式為y=﹣x+2。
∵點P既在直線y=﹣x+2上，也在拋物線上，
∴，解得：x=2或x=。
當x=2時，y=﹣x+2=0；當x=時，y=﹣x+2=，
∴點P的坐標為（2，0）（與點B重合），或（，）。
（4）∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，
∴∠EBA=22.5°。
由（1）知∠ODA=22.5°，
∴∠DOA=67.5°，OA=EA。
∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°
∴△OED是頂角為135°的等腰三角形。
若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形。
如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點M有4個，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點M₁，M₃。

∵DM₁=DB=2，OA=，∴M₁（，）。
由（1）知B（2，0），E（，），故直線BE的解析式為y=（1﹣）x﹣2+。
∵I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分線x=1與OD的垂直平分線BE的交點，
∴I（1，﹣1），即M₃（1，﹣1）．
∴符合題意的M點的坐標為（，），（1，﹣1）。

試題分析：（1）連接ID，IO，通過證明IF⊥OD而得到∠FED=∠EBA；又由DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，即可由AAS證得△OAD≌△EAB；
（2）求出點B、E的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（3）由于直線BD與x軸關于直線BF對稱，則拋物線與直線BD的交點即為所求之點P。分別求出拋物線與直線BD的解析式，聯立解方程，即可求出交點（點P）的坐標。
（4）首先證明△OED是頂角為135°的等腰三角形，若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形．如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點M有4個，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點M₁，M₃。