Question

好學的小紅在學完三角形的角平分線后，遇到下列4個問題，請你幫她解決．如圖，在△ABC中，∠BAC=50°，點I是兩角B、C平分線的交點．
問題（1）：填空：∠BIC=______°．
問題（2）：若點D是兩條外角平分線的交點；填空：∠BDC=______°．
問題（3）：若點E是內角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點，試探索：∠BEC與∠BAC的數量關系，并說明理由．
問題（4）：在問題（3）的條件下，當∠ACB等于多少度時，CE∥AB．

Answer 1

解：（1）∵點I是兩角B、C平分線的交點，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90+∠BAC=115°；

（2）∵BE、BD分別為∠ABC的內角、外角平分線，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四邊形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-∠BAC=65°；

（3）∠BEC=∠BAC．
證明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-∠BAC）
=∠BAC；

（4）當∠ACB等于80°時，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=50°，
∵CE是∠ACG的平分線，
∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．
分析：（1）已知點I是兩角B、C平分線的交點，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90+∠BAC，由此可求∠BIC；
（2）因為BE、BD分別為∠ABC的內角、外角平分線，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四邊形CDBI中，可證∠BDC=180°-∠BIC=90-∠BAC，由此可求∠BDC；
（3）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=∠BAC；
（4）當CE∥AB時，∠BEC=∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=（180-∠BAC）．
點評：本題考查了三角形的內角、外角平分線的夾角大小與原三角形內角的關系，要充分運用三角形內角和定理，角平分線性質轉換．