Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，tanB=

3

4

，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，DF⊥DE交射線AC于點F．
（1）求AC和BC的長；
（2）當EF∥BC時，求BE的長；
（3）連接EF，當△DEF和△ABC相似時，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）可設AC=3k，BC=4k，由條件AB=5，tanB=

3

4

，可求出AC和BC的長；
（2）過點E作EH⊥BC，垂足為H，容易證得△EHB∽△ACB，設EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；根據相似的性質可求出k的值問題得解；
（3）過點E作EH⊥BC，垂足為H，易得△EHB∽△ACB，設EH=3k，BE=5k，根據相似的性質可求出k的值，在解題時要注意分類討論．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°
∵tanB=

AC

BC

=

3

4

，∴設AC=3k，BC=4k，
∴AB=5k=5，∴k=1，
∴AC=3，BC=4；

（2）過點E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△EHB∽△ACB
設EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴

EF

FD

=

FD

CD

∴FD²=EF•CD，
即9k²+4=2（4-4k）
化簡，得9k²+8k-4=0
解得k=

-4±2 13

9

（負值舍去），
∴BE=5k=

10 13 -20

9

；

（3）過點E作EH⊥BC，垂足為H．
易得△EHB∽△ACB
設EH=3k，BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴

EH

CD

=

DE

DF

，
當△DEF和△ABC相似時，有兩種情況：1°

DE

DF

=

AC

BC

=

3

4

，
∴

EH

CD

=

3

4

，
即

3k

2

=

3

4

解得k=

1

2

，
∴BE=5k=

5

2

（3分）2°

DE

DF

=

BC

AC

=

4

3

，
∴

EH

CD

=

4

3

，
即

3k

2

=

4

3

解得k=

8

9

，
∴BE=5k=

40

9

．
綜合1°、2°，當△DEF和△ABC相似時，BE的長為

5

2

或

40

9

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質以及解直角三角形的運用，題目難度不小，具有一定的綜合性．特別是三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．