Question

如圖，在直角坐標系xOy中，以y軸為對稱軸的拋物線經過直線與y軸的交點A和點M（，0）．
（1）求這條拋物線所對應的二次函數的解析式；
（2）將這條拋物線沿x軸向右平移，使其經過坐標原點．
①在題目所給的直角坐標系xOy中，畫出平移后的拋物線的示意圖；
②設平移后的拋物線的對稱軸與直線AB（B是直線與x軸的交點）相交于C點，判斷以O為圓心、OC為半徑的圓與直線AB的位置關系，并說明理由；
（3）P點是平移后的拋物線的對稱軸上的點，求P點的坐標，使得以O、A、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

解：（1）設x=0，則y=2．∴A（0，2）．
設這條拋物線所對應的二次函數的解析式為：y=ax²+2．
∵過點M（-，0），∴有a（-）²+2=0．
解得：a=-．
∴所求的這條拋物線所對應的二次函數的解析式為：
y=-x²+2．

（2）①平移后的拋物線如圖所示：
②相切．
理由：由題意和平移性質可知，平移后的拋物線的
對稱軸為直線x=．
∵C點是對稱軸與直線AB的相交，
∴易求得點C的坐標為（，）．
由勾股定理，可求得OC=．
設原點O到直線AB的距離為d，則有 AB•d=AO•BO．
∵點A為（0，2），點B為（2，0），∴AB=4．
4d=2×2．∴d==OC．
這說明，圓心O到直線AB的距離d與⊙O的半徑OC相等．
∴以O為圓心、OC為半徑的圓與直線AB相切．

（3）設P點的坐標為（，p）．
∵拋物線的對稱軸與y軸互相平行，即AO∥PC．
∴只需PC=AO=2，即可使以O，A，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形．
由（2）知，點C的坐標為（，），
∴|P-|=2，∴P-2=±2．
解得 P₁=，P₂=-．
∴P點的坐標為P₁（，）或P₂（，-）．
分析：（1）首先求出A點坐標，進而利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（2）①將二次函數拋物線向右平移即可；
②首先求出二次函數的對稱軸，進而求出對稱軸與直線AB的交點，求出OC的長，進而利用三角形面積得出原點O到直線AB的距離d，即可判斷出以O為圓心、OC為半徑的圓與直線AB的位置關系；
（3）利用平行四邊形的性質得出|P-|=2，即可得出P-2=±2，求出P點坐標即可．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及直線與圓的位置關系和頂點式求二次函數解析式等知識，正確利用直線與圓的位置關系判定方法得出是解題關鍵．