Question

如圖，已知AB=AC+BD，∠CAB=∠ABD=90°AD交BC于P，⊙P與AB相切于點Q．設AC=a，BD=b（a≤b）．
（1）求⊙P的半徑r；
（2）以AB為直徑在AB的上方作半圓O（用尺規作圖，保留痕跡，不寫作法），請你探索⊙O與⊙P的位置關系，做出判斷并加以證明；
（3）設a=2，b=4，能否在半圓O中，再畫出兩個與⊙P同樣大小的⊙M和⊙N，使這3個小圓兩兩相交，并且每兩個小圓的公共部分的面積都小于

5

.18

π？請說出你的結論，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）易證得△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，得到

r

a

=

BQ

AB

，

r

b

=

AQ

AB

，故可求得r的值；
（2）作出AB的中垂線交于AB于點O，以點O為圓心，AO為半徑作半圓，即可，由于⊙O的半徑R=

a+b

2

，⊙P的半徑為r=

ab

a+b

，可得到AQ=

r•AB

b

=

2Rr

b

=a，OQ=

a+b

2

-a=

b-a

2

，連接PO，由勾股定理得到PO=R-r，故⊙O與⊙P相切；
（3）用反證法判斷．

解答：解：（1）如圖1，連接PQ，
∵⊙P與AB相切于Q
∴PQ⊥AB且PQ=r
∵∠CAB=∠ABD=90°
∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB
∴

r

a

=

BQ

AB

，

r

b

=

AQ

AB

∴

a-r

a

=

r

b

∴r=

ab

a+b

；

（2）如圖2：⊙O與⊙P相切，
證明：∵⊙O的半徑R=

a+b

2

∴Rr=

ab

2

∴AQ=

r•AB

b

=

2Rr

b

=a
OQ=

a+b

2

-a=

b-a

2

連接PO
則PO=

( ab a+b )2+( b-a 2 )2

=

a2+b2

2(a+b)

=

a+b

2

-

ab

a+b

=R-r
∴⊙O與⊙P相切；

（3）由（2）知，半圓O的半徑=

AB

2

=3，
假設符合要求的圖形存在，每兩個圓的公共部分的面積分別為S_PM、S_MN、S_PN，則它們均小于

5

18

π，又設每個小圓的面積為S，三個小圓公共部分的面積為S_PMN，則三個小圓的覆蓋面積=3S-（S_PM+S_MN+S_PN）+S_PMN＞3π•（

4

3

）²-

3×5

18

π+S_PMN≥

9

2

π=

32

2

π=半圓O的面積，而這是不可能的，故不能在這個半圓O中畫出符合要求的⊙M和⊙N．

點評：本題利用了相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓的面積公式，反證法求解，還考查了圓的作法．