Question

【題目】已知，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8.動點P從點A出發沿A—B—C的方向以每秒2個單位的速度運動.設P的運動時間為t（秒）.

（1）請直接用含t的代數式表示①當點P在AB上時，BP= ；②當點P在BC上時，BP= ；

（2）求△BPC為等腰三角形的t值.

(備用圖)

Answer 1

【答案】（1）10-2t，2t-10；（2）t=2.5或2或1.4．

【解析】

（1）由勾股定理求出AB的長，①當點P在AB上時，BP= AB-AP，②當點P在BC上時，BP=2t－AB，即可得出結論；

（2）分三種情況討論：①作BC的垂直平分線交AB于點P，交BC于點E．連接PC，則△BPC是等腰三角形；②以B為圓心，BC為半徑作弧與AB交于點P．連接PC，則△BPC是等腰三角形；③以C為圓心，BC為半徑作弧與AB交于點P．過C作CD⊥AB于D，連接PC，則△BPC是等腰三角形．分別計算即可．

（1）①∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，BP=AB-AP=10－2t；

②BP=2t－AB=2t－10；

（2）分三種情況討論：①如圖1，作BC的垂直平分線交AB于點P，交BC于點E．連接PC，則△BPC是等腰三角形．

∵∠C=90°，∴PE∥AC．

∵BE=EC，∴AP=PB=AB=5，∴t=5÷2=2.5；

②如圖2，以B為圓心，BC為半徑作弧與AB交于點P．連接PC，則△BPC是等腰三角形．

∵PB=BC=6，∴AP=AB－BP=10－6=4，t=4÷2=2；

③如圖3，以C為圓心，BC為半徑作弧與AB交于點P．過C作CD⊥AB于D，連接PC，則△BPC是等腰三角形．

∵ACBC=ABCD，∴CD==4.8，∴BD==3.6．

∵∵PC=BC=6，∴PD=BD=3.6，∴AP=AB－BP=10－7.2=2.8，t=2.8÷2=1.4．

綜上所述：t=2.5或2或1.4．