Question

【題目】如圖1，兩個全等的等邊三角形如圖放置，邊長為4，AC與DE交于點G，點D是AB的中點，BC與DF相交于點K，連接GK．

（1）寫出兩對相似三角形（不含全等）；

（2）求證：∠GKD=∠BKD；

（3）若△DKG的面積為S，KG=x，寫出S與x的關系，并寫出x的取值范圍；

（4）若將條件中的兩個全等的等邊三角形改為兩個全等的等腰三角形（DF=EF=AC=BC），如圖2，其余條件不變，直接判斷（1）（2）中的結論是否依然成立．

Answer 1

【答案】（1）△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB；（2）證明參見解析；（3）S=x（2≤x≤3）；（4）結論依然成立；

【解析】

試題分析：（1）由等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性質得出∠AGD=∠BDK，利用兩角相等證出△DAG∽△KBD，從而得出對應邊成比例，又由題意可得AD=BD=2，得出，根據兩邊對應成比例，夾角相等證出△KDG∽△KDB即可；（2）由等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性質得出∠AGD=∠BDK，證出△DAG∽△KBD，得出對應邊成比例，由AD=BD=2，得出，證出△KDG∽△KDB，即可得出結論；（3）由等腰三角形的性質得出∠A=∠B=∠EDF，再由三角形的外角性質得出∠AGD=∠BDK，證出△DAG∽△KBD，得出對應邊成比例，由AD=BD=2，得出，證出△KDG∽△KDB；從而得到△DAG∽△KDG，所以，即，得出DGDK=2x，△DKG的面積S=DGDKsin∠EDF，即可得出結果；當KG∥AB時，KG最小=AB=2；當K與C重合時，KG最大=3；即可得出x的取值范圍；（4）結論仍然成立，解法同（1）（2），利用兩角相等兩個三角形相似證明△DAG∽△KBD，根據兩邊對應成比例，夾角相等兩個三角形相似證出△KDG∽△KDB．

試題解析：（1）寫出兩對三角形可以是△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB；理由如下：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等邊三角形，∴∠A=∠B=∠EDF=60°，∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，∴∠AGD=∠BDK，∴△DAG∽△KBD，∴，∵點D是AB的中點，∴AD=BD=2，∴，∴△KDG∽△KDB；（2）證明：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等邊三角形，∴∠A=∠B=∠EDF=60°，∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，∴∠AGD=∠BDK，∴△DAG∽△KBD，∴，∵點D是AB的中點，∴AD=BD=2，∴，又∵∠GDK=∠DBK，∴△KDG∽△KDB，∴∠GKD=∠BKD；（3）由（2）得：△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB，∴△DAG∽△KDG，∴，即，∴DGDK=2x，∴△DKG的面積S=DGDKsin∠EDF=2x=x，當KG∥AB時，KG最小=AB=2；當K與C重合時，KG最大=3；∴S=x（2≤x≤3）；（4）（1）（2）中的結論依然成立；理由如下：∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，∴∠A=∠B=∠EDF，∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，∴∠AGD=∠BDK，∴△DAG∽△KBD，∴，∵點D是AB的中點，∴AD=BD=2，∴，又∵∠GDK=∠DBK，∴△KDG∽△KDB，∴∠GKD=∠BKD．