Question

【題目】已知：在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函數圖象上任意兩點（x1＜x2），將函數圖象中x＜x1的部分沿直線y＝y1作軸對稱，x＞x2的部分沿直線y＝y2作軸對稱，與原函數圖象中x1≤x≤x2的部分組成了一個新函數的圖象，稱這個新函數為原函數關于點A、B的“雙對稱函數”．例如：如圖①，點A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函數y＝x+1圖象上的兩個點，則函數y＝x+1關于點A、B的“雙對稱函數”的圖象如圖②所示．

（1）點A（t，y1）、B（t+3，y2）是函數y＝圖象上的兩點，y＝關于點A、B的“雙對稱函數”的圖象記作G，若G是中心對稱圖形，直接寫出t的值．

（2）點P（，y1），Q（+t，y2）是二次函數y＝（x﹣t）2+2t圖象上的兩點，該二次函數關于點P、Q的“雙對稱函數”記作f．

①求P、Q兩點的坐標（用含t的代數式表示）．

②當t＝﹣2時，求出函數f的解析式；

③若﹣1≤x≤1時，函數f的最小值為ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1時，t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）①P（，t2+t+），Q（+t，2t+）；②y＝；③﹣≤t≤或≤t≤

【解析】

（1）根據定義、反比例函數圖象性質和中心對稱性質即可求出t；
（2）①直接代入計算即可；②新函數是分段函數，自變量x的范圍分為x＜或≤x≤或x＞，二次函數圖象翻折后開口方向與原來相反，頂點與原來頂點關于對稱軸對稱，可以先求新頂點；③分t≤-1，-1＜t＜0，t≥0進行討論．

解：（1）如圖1，

設點A（t，），A′（t+3，），

∵G是中心對稱圖形，由反比例函數圖象的中心對稱性質可知：A與A′關于原點成中心對稱，

∴t+t+3＝0，解得：t＝；

（2）①y1＝+2t＝t2+t+，y2＝+2t＝2t+

∴P（，t2+t+），Q（+t，2t+），

②當t＝﹣2時，y＝（x+2）2﹣4，P（，），Q（，），根據“雙對稱函數”定義可知：

新圖象f由x＜時拋物線y＝（x+2）2﹣4沿直線y＝翻折所得圖象、x＞時拋物線y＝（x+2）2﹣4沿直線y＝翻折所得圖象及≤x≤時拋物線y＝（x+2）2﹣4三個部分組成，

∴當t＝﹣2時，函數f的解析式為：y＝

③∵當﹣1≤x≤1時，函數f的最小值為ymin，且﹣2≤ymin≤﹣1，

若t＜0，該二次函數關于點P、Q的“雙對稱函數”為：y＝，

當t≤﹣1時，點Q始終是“雙對稱函數”在﹣1≤x≤1的最低點，由﹣2≤2t+≤﹣1，∴≤t≤，故≤t≤﹣1

當﹣1＜t＜0時，將x＝﹣1代入得y＝﹣（﹣1﹣t）2+2t+＝﹣t2，由﹣2≤﹣t2≤﹣1，解得：≤t≤，∴﹣1≤t≤

當t≥0時，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+≤﹣1，可解得：≤t≤，

綜上所述，t的取值范圍為：﹣≤t≤或≤t≤，