Question

如圖，點A（3，1），B（-1，n）是一次函數y₁=ax+b 和反比例函數y₂=圖象的交點，
（1）求兩個函數的解析式
（2）觀察圖象直接寫出y₁≥y₂自變量x的取值范圍．
（3）在平面內求一點M，使△AOM是以OA為直角邊等腰直角三角形．
如果還存在其他點M，直接寫出答案．

Answer 1

（1）解：把A（3，1）代入y₂=得：k=xy=3，
∴y₂=，
把x=-1代入上式得：y=-3，
∴B（-1，-3），
把A、B的坐標代入y₁=ax+b得：，
解得：a=1，b=-2，
∴y₁=x-2，
即一次函數的解析式是y₁=x-2，反比例函數的解析式是y₂=．

（2）解：根據圖象可知：y₁≥y₂自變量x的取值范圍-1≤x＜0或x≥3．

（3）解：符合條件的點M的坐標是（1，-3），（4，-2），（-1，3），（2，4），
選（1，-3），
證明：如圖作AN⊥y軸，MD⊥y軸，垂足分別為N，D．
∵△AOM是等腰三角形且OA是直角邊，
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∵∠NOA+∠AOM+∠MOD=180°，
∴∠NOA+∠MOD=90°，
∵MD⊥y軸，
∴∠ODM=90°，
∴∠MOD+∠OMD=180°-90°=90°，
∵∠NOA+∠MOD=90°，
∠MOD+∠OMD=90°，
∴∠NOA=∠OMD，
∵AN⊥y軸，MD⊥y軸，
∴∠ANO=∠MDO=90°，
在△AON和△NMD中，
，
∴△AON≌△NMD （AAS），
∴AN=OD，ON=DM，
∵A（1，3），
∴AN=3，ON=1，
∴OD=3，DM=1，
∴M（1，-3）．
分析：（1）把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出k，把B的坐標代入反比例函數的解析式，能求出B的坐標，把A、B的坐標代入一次函數的解析式得出關于a、b的方程組，求出方程組的解即可；
（2）根據圖象和一次函數與反比例函數的交點坐標，即可得出答案
（3）選M（1，-3），作AN⊥y軸，MD⊥y軸，垂足分別為N，D．證出∠NAO=MOD，根據AAS證△NAO≌△DOM證出AN=OD，MD=ON，根據A的坐標求出即可．
點評：本題考查了一用待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式，全等三角形的性質和判定，一次函數與反比例函數的交點問題等知識點的運用，此題綜合性比較強，主要培養了學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，同時也培養了學生的觀察圖形的能力，用了數形結合思想．