Question

已知：△ABC中，∠B=90°，BE平分∠ABC，AB=6cm，AC=10cm．
（1）在BE的延長線上求作一點D，使DA=DC；
（2）四邊形ABCD是否有外接圓，并說明理由．若有求外接圓的面積；若沒有說明理由．

Answer 1

解：（1）作邊AC的垂直平分線與BE延長線的交點即為D，如圖；


（2）過A作AM⊥BE于M，過C作CN⊥BE于N．則三角形BCN和三角形ABM都是等腰直角三角形，且BC=8cm．
根據等腰直角三角形的性質，得CN=BN=4cm，AM=BM=3cm，則MN=cm．
根據DH是AC的垂直平分線，則AD=CD，設ND長為xcm，根據勾股定理，列方程，得
（x+）²+18=x²+32，
解得x=3，
根據勾股定理，得CD=5，在直角三角形CDH中，根據勾股定理，得DH=5cm，
又根據直角三角形的性質，知H到A、B、C三個頂點距離相等，且該距離是5cm．
因此四邊形ABCD是否有外接圓，且外接圓的面積是25πcm²．
分析：（1）作邊AC的垂直平分線與BE延長線的交點即為D；
（2）要判斷四邊形ABCD是否有外接圓，只需看能否找到一點到四邊形ABCD四個頂點的距離相等，根據直角三角形的性質，知到A、B、C三個頂點距離相等的點是AC的中點，設為H．過A作AM垂直于BE于M，過C作CN垂直于BE于N．設ND長為x，根據CD=AD結合勾股定理列方程（x+）²+18=x²+32，解方程得x=3，可以求出CD=5，故DH可求得為5．因此有外接圓，進一步求得外接圓的面積
點評：此題綜合考查了線段垂直平分線的性質、等腰直角三角形的性質、證明幾點共圓的方法，即這幾個點到某一定點的距離相等．