Question

小明在學習軸對稱的時候，老師留了這樣一道思考題：如圖，已知在直線l的同側有A、B兩點，請你在直線l上確定一點P，使得PA+PB的值最小．小明通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確方法，他的作法是這樣的：
①作點A關于直線l的對稱點A′．
②連接A′B，交直線l于點P．則點P為所求．請你參考小明的作法解決下列問題：
（1）如圖1，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，BC邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點P，使得△PDE的周長最�。�
①在圖1中作出點P．（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
②請直接寫出△PDE周長的最小值______．
（2）如圖2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點，若E、F為邊AB上的兩個動點，點E在點F左側，且EF=1，當四邊形CGEF的周長最小時，請你在圖2中確定點E、F的位置．（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并直接寫出四邊形CGEF周長的最小值______．

Answer 1

解：（1）①如圖1所示：
②∵點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6，
∴DE=3，
∵BC邊上的高為4，
∴DD′=4，
∵DD′⊥BC，DE∥BC，
∴DD′⊥DE，
∴ED′==5，
C_△PDE=D′E+DE=5+3=8；
故答案為：8；

（2）如圖2，作G關于AB的對稱點M，
在CD上截取CH=1，然后連接HM交AB于E，
接著在EB上截取EF=1，
那么E、F兩點即可滿足使四邊形CGEF的周長最小．
∵AB=4，BC=6，G為邊AD的中點，
∴DG=AG=AM=3，
∵AE∥DH，
∴=，
∴=，
=，
故AE=1，
∴GE==，
BF=2，CF===2，
CG==5，
∴C_{四邊形GEFC}=GE+EF+FC+CG=6+3．
故答案為：6+3．
分析：（1）①利用軸對稱作出D點對稱點D′，連接D′E即可得出P點坐標，
②要求△PDE周長的最小值求出DP+PE的最小值即可，利用已知由勾股定理求出即可；
（2）利用已知可以得出GC，EF長度不變，求出GE+CF最小時即可得出四邊形CGEF周長的最小值，利用軸對稱得出E，F位置，即可求出．
點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，利用GE+CF最小時即可得出四邊形CGEF周長的最小值得出E，F位置是解題關鍵．