Question

27、正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連接AP，分別過B、D兩點作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足為E、F，如圖①
（1）請你通過觀察或測量BE、DF、EF的長度，然后猜想它們之間的數量關系．若點P在DC的延長線上，如圖②，這三條線段長度之間又具有什么樣的數量關系？若P在DC的反向延長線上，如圖③，這三條線段長度之間又具有什么樣的數量關系；請分別直接寫出結論．

（2）請在（1）中的三個結論中任意選擇一個加以證明．

Answer 1

分析：根據已知可證明△ABE≌△DAF，得出BE=AF，AE=DF，因此第一個圖中得出的結論應是BE=AF=AE+EF=DF+EF，同理第二個圖中得出的是BE=DF-EF，第三個圖得出的結論是BE=EF-DF．

解答：解：
（1）①BE=DF+EF；
②BE=DF-EF；
③BE=EF-DF；

（2）圖①證明如下，
證明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA+∠AFD=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，在正方形ABCD中，AB=AD，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴DF=AE，BE=AF，
∴BE=DF+EF．
圖②③同圖①．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定，通過全等三角形得出線段相等是解題的關鍵．