Question

已知點A，點B都在雙曲線y=

k

x

上．點A的坐標為（1，4），點B的橫坐標為m（m＞2），分別過點A，點B作x軸的垂線，垂足分別為D，C，且AD，OB相交于點E．

（1）求證：△AOE與直角梯形EDCB的面積相等；
（2）延長BO交雙曲線y=

k

x

于點F，延長AO交雙曲線y=

k

x

于點H，
①當四邊形AFHB為矩形時，求點B的坐標；
②當四邊形AFHB的面積為

64

3

時，求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）將A坐標代入反比例函數解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B的橫坐標代入反比例解析式，表示出縱坐標，由A與B的坐標確定出三角形AOD與三角形BOC的面積相等，都減去三角形OED的面積，即可得到三角形AOE與直角梯形EDCB的面積相等；
（2）由對稱性得到OA=OH，OB=OF，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到AFHB為平行四邊形，
①當四邊形AFHB為矩形時，OA=OB，利用兩點間的距離公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出B的坐標；
②由第一問三角形AOE與直角梯形EDCB的面積相等，都加上三角形AEB的面積，得到三角形AOB的面積與直角梯形ABCD的面積公式，直角梯形上底為B的縱坐標，下底為A的縱坐標，高為B與A橫坐標之差，利用梯形面積公式表示出梯形ABCD的面積，即為三角形AOB的面積，而四邊形AFBH面積為三角形AOB面積的4倍，由已知AFBH的面積列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出B的坐標，設直線AB解析式為y=kx+b，將A與B的坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線AB的解析式．

解答：解：（1）∵點A（1，4）在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=xy=1×4=4，
∵點B也在雙曲線y=

4

x

上，
∴當x=m時，y=

4

m

，即B（m，

4

m

），
∵S_△AOD=

1

2

OD×AD=

1

2

×1×4=2，S_△BOC=

1

2

OC×BC=

1

2

×m×

4

m

=2，
∴S_△AOD=S_△BOC，
∴S_△AOE+S_△ODE=S_△ODE+S_梯形DEBC，
∴S_△AOE=S_梯形DEBC；

（2）∵雙曲線y=

4

x

是關于原點的中心對稱圖形，
∴OA=OH，OB=OF，
∴四邊形ABHF為平行四邊形，
①當AH=BF，即OA=OB時，四邊形AFHB為矩形，
∴1+4²=m²+（

4

m

）²，整理得：（m-

4

m

）²=9，
解得：m-

4

m

=3或m-

4

m

=-3，
∵m＞2，∴

4

m

＜1，
∴m-

4

m

＞0，m-

4

m

=-3，舍去，
由m-

4

m

=3得，m²-3m-4=0，
解得：m=-1，m=4，
∵m＞2，∴m=4，
∴

4

m

=1，
此時點B的坐標為（4，1）；
②∵四邊形AFHB為平行四邊形，且對角線AH，BF相交于O點，
∴S_{平行四邊形AFHB}=4S_△AOB，
由（1）知S_△AOE+S_△AEB=S_△AEB+S_梯形DEBC，即S_△AOB=S_梯形ABCD=

1

2

（BC+AD）×CD，
∵AD=4，BC=

4

m

，CD=m-1，
∴當四邊形AFHB的面積為

64

3

時，有4×

1

2

（4+

4

m

）（m-1）=

64

3

，
整理得：3m²-8m-3=0，
解得：m=3，m=-

1

3

＜2（舍去），
此時點B為（3，

4

3

），
設直線AB：y=ax+b，
將A與B的坐標代入得：

a+b=4 3a+b= 4 3

，
解得：a=-

4

3

，b=

16

3

．
則直線AB：y=-

4

3

x+

16

3

．

點評：此題考查了反比例函數的性質，坐標與圖形性質，平行四邊形的判定與性質，矩形的判定，以及待定系數法確定函數解析式，是一道多知識的綜合題．