Question

（2013•山西模擬）已知關于x的方程x²-2mx+n²=0
（1）若m從0，1，2，3四個數任意取一個數，n從0，1，2三個數任意取一個數，則方程有實數根的概率是多少？
（2）當m=2，n=1時，解此方程．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△的意義得到當△＞0時，即4m²-4n²≥0，關于x的方程x²-2mx+n²=0有實數根，則m²≥n²；然后畫樹狀圖展示m從0，1，2，3四個數任意取一個數，n從0，1，2三個數任意取一個數的所有等可能的結果數為12，其中滿足m²≥n²占9種，再根據概率的定義計算即可；
（2）把m=2，n=1代入方程得到x²-4x+1=0，配方得到（x-2）²=3，然后利用直接開平方法解方程即可．

解答：解：（1）∵關于x的方程x²-2mx+n²=0有實數根，
∴△＞0，即4m²-4n²≥0，
∴m²≥n²，
畫樹狀圖：
m從0，1，2，3四個數任意取一個數，n從0，1，2三個數任意取一個數，共有12種等可能的結果，
其中滿足m²≥n²占9種，
所以方程有實數根的概率=

9

12

=

3

4

；
（2）當m=2，n=1時，方程為：x²-4x+1=0，
x²-4x+4=3，
∴（x-2）²=3，
∴x-2=±

3

，
∴x₁=2+

3

，x₂=2-

3

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了不等式的解法．