Question

【題目】已知，如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，B（5，2），點D是OA的中點，動點P在線段BC上以每秒2個單位長的速度由點C向B 運動．設動點P的運動時間為t秒

（1）當t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？

（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在線段PB上有一點M，且PM＝2.5，當P運動多少，四邊形OAMP的周長最小值為多少，并畫圖標出點M的位置．

Answer 1

【答案】（1）t＝1.25；（2）①Q（4，2）；②Q（1.5，2），③Q（﹣1.5，2）；（3）、．

【解析】

（1）先求出OA，進而求出OD=2.5，再由運動知BP=5-2t，進而由平行四邊形的性質建立方程5-2t=2.5即可得出結論；
（2）分三種情況討論，利用菱形的性質和勾股定理即可得出結論；
（3）先判斷出四邊形OAMP周長最小，得出AM+DM最小，即可確定出點M的位置，再用三角形的中位線得出BM，進而求出PC，即可得出結論．

（1）∵四邊形OABC為矩形，B（5，2），

∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2，

∵點D時OA的中點，

∴OD＝OA＝2.5，

由運動知，PC＝2t，

∴BP＝BC﹣PC＝5﹣2t，

∵四邊形PODB是平行四邊形，

∴PB＝OD＝2.5，

∴5﹣2t＝2.5，

∴t＝1.25；

（2）①當Q點在P的右邊時，如圖1，

∵四邊形ODQP為菱形，

∴OD＝OP＝PQ＝2.5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝1.5，

∴2t＝1.5；

∴t＝0.75，

∴Q（4，2）；

②當Q點在P的左邊且在BC線段上時，如圖2，

同①的方法得出t＝2，

∴Q（1.5，2），

③當Q點在P的左邊且在BC的延長線上時，如圖3，

同①的方法得出，t＝0.5，

∴Q（﹣1.5，2）；

（3）t＝

如圖4，

由（1）知，OD＝2.5，

∵PM＝2.5，

∴OD＝PM，

∵BC∥OA，

∴四邊形OPMD時平行四邊形，

∴OP＝DM，

∵四邊形OAMP的周長為OA+AM+PM+OP＝5+AM+2.5+DM＝7.5+AM+DM，

∴當AM+DM最小時，四邊形OAMP的周長最小，

∴作點A關于BC的對稱點E，連接DE交PB于M，

∴AB＝EB，

∵BC∥OA，

∴BM＝AD＝，

∴PC＝BC﹣BM﹣PM＝5﹣﹣＝，DM+AM＝DE＝＝＝，

∴t＝÷2＝，周長的最小值為．