Question

如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動點同時從點出發，分別沿，運動，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設運動時間為秒．

（1）若厘米，秒，則______厘米；

（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；

（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；

（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2），使，相似比為

（3），

，即，

當梯形與梯形的面積相等，即

化簡得，

，，則，

（4）時，梯形與梯形的面積相等

梯形的面積與梯形的面積相等即可，則

，把代入，解之得，所以．

所以，存在，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．

【解析】（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的對應邊成比例就可以求出PM；

（2）若PNB∽△PAD，這樣就可以求出t，也可以求出相似比；

（3）首先利用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，然后就可以用t表示梯形PMBN與梯形PQDA的面積，根據已知可以得到關于t的方程，最后就可以根據t與a的關系式就可以討論t的取值范圍了；

（4）根據（3）已經得到t的取值范圍，再根據梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等得到關于t的方程，求出t，再求出a，這樣就可以判斷a的值是否存在