Question

2．已知：如圖1，點A、O、B依次在直線MN上，現將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒≤t≤90秒）．
（1）用含t的代數式表示∠MOA的度數．
（2）在運動過程中，當∠AOB第二次達到60°時，求t的值．
（3）在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）∠AOM的度數等于OA旋轉速度乘以旋轉時間；
（2）當∠AOB第二次達到60°時，射線OB在OA的左側，根據∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得；
（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況：
①OB兩次平分∠AOM時，根據$\frac{1}{2}$∠AOM=∠BOM，列方程求解，
②OB兩次平分∠MON時，根據∠BOM=$\frac{1}{2}$∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON時，根據∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON，列方程求解．

解答 解：（1）∠MOA=2t；

（2）如圖，

根據題意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，
當∠AOB第二次達到60°時，∠AOM+∠BON-∠MON=60°，
即2t+4t-180=60，解得：t=40，
故t=40秒時，∠AOB第二次達到60°；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：
①OB平分∠AOM時，∵$\frac{1}{2}$∠AOM=∠BOM，
∴t=180-4t，
解得：t=36；
②OB平分∠MON時，∵∠BOM=$\frac{1}{2}$∠MON，即∠BOM=90°，
∴4t=90，或4t-180=90，
解得：t=22.5，或t=67.5；
③OB平分∠AON時，∵∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON，
∴4t=$\frac{1}{2}$（180-2t），或180-（4t-180）=$\frac{1}{2}$（180-2t），
解得：t=18或t=90（不符合題意，舍去）；
綜上，當t的值分別為18、22.5、36、67.5秒時，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．

點評 本題主要考查角的計算和角平分線性質的運用，OB為角平分線時分類討論是解題的關鍵和難點．