Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發，向點B以 個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；
（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；
（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標；
（4）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），

當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3），

將A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得 ，解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如圖①所示：∠PQA=90°時，設運動時間為t秒，則QA= ，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即： ，解得：t=1；

如圖②所示：∠QPA=90°時，設運動時間為t秒，則QA= ，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即： ，解得：t= ．

綜上所述，當t=1或t= 時，△PQA是直角三角形；

（3）

解：如圖③所示：

設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

將t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得點F的坐標為（2，3）．

（4）

解：如圖④所示：

設運動時間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t） ．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴點M的坐標為（1，4）．

∴MB= = ．

當△BOP∽△QBM時， 即： ，整理得：t2﹣3t+3=0，

△=32﹣4×1×3＜0，無解：

當△BOP∽△MBQ時， 即： ，解得t= ．

∴當t= 時，以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似．

【解析】（1）先由直線AB的解析式為y=﹣x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）由直線與兩坐標軸的交點可知：∠QAP=45°，設運動時間為t秒，則QA= ，PA=3﹣t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數值列出關于t的方程求解即可；（3）設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2 ， EP∥FQ，EF∥PQ，所以四邊形為平行線四邊形，由平行四邊形的性質可知EP=FQ，從而的到關于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后將t=1代入即可求得點F的坐標；（4）設運動時間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t） ，然后由拋物線的解析式求得點M的坐標，從而可求得MB的長度，然后根據相似相似三角形的性質建立關于t的方程，然后即可解得t的值．
【考點精析】利用平行四邊形的性質和相似三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．