Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（﹣8，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α＝45°，OE＝OA，求直線EF的函數表達式；

（2）如圖3，若α為銳角，且tanα＝，當EA⊥x軸時，正方形對角線EG與OF相交于點M，求線段AM的長；

（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸正半軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，是否存在△OEP的兩邊之比為：1？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)直線EF的解析式為y＝x+8；(2)AM＝6；(3)滿足條件的點P的坐標為(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．

【解析】

(1)過點E作EH⊥OA于點H,進而求出點E的坐標,再根據勾股定理求出OF的值,然后利用待定系數法,即可求出直線EF的解析式

(2)作MN⊥AM交x軸于點N,此時△AEM≌△NOM,得到AE=ON=4,△AMN是等腰直角三角形,即可求出AM的長;

(3)根據點F落在y軸正半軸上,通過改變正方形的邊長,畫出直線AE與直線FG相交的點P,并判斷△OEP的其中兩邊之比能否為2:1,當△OEP的其中兩邊之比為 :1時,再通過分類討論確定出圖形,根據圖形性質,利用勾股定理、相似三角形、三角函數等知識求得點P的坐標

(1)∵OE＝OA＝8，α＝45°，

∴E(﹣4，4)，F(0，8)，

設直線EF的解析式為y＝kx+b，則有 ，

解得

∴直線EF的解析式為y＝x+8．

(2)如圖3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延長線于K．

在Rt△AEO中，tan∠AOE＝，OA＝8，

∴AE＝4，

∵四邊形EOGF是正方形，

∴∠EMO＝90°，

∵∠EAO＝∠EMO＝90°，

∴E、A、O、M四點共圓，

∴∠EAM＝∠EOM＝45°，

∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，

∴MK＝MH，四邊形KAOM是正方形，

∵EM＝OM，

∴△MKE≌△MHO，

∴EK＝OH，

∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，

∴AH＝6，

∴AM＝AH＝6．

(3)如圖2中，設F(0，2a)，則E(﹣a，a)．

∵A(﹣8，0)，E(﹣a，a)，

∴直線AP的解析式為y＝，直線FG的解析式為y＝﹣x+2a，

由，

∴P()．

①當PO＝ OE時，∴PO2＝2OE2，

則有：＝4a2，

解得a＝4或﹣4(舍棄)或0(舍棄)，

此時P(0，8)．

②當PO＝PE時，則有：＝2[()2]，

解得：a＝4或12，

此時P(0，8)或(﹣24，48)，

③當PE＝EO時，[()2]＝4a2，

解得a＝8或0(舍棄)，

∴P(﹣8，24)

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(0，8)，(﹣8，24)，(﹣24，48)．