Question

如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過CB的中點D，直線FE過點D，且FE⊥AC于E，FB切⊙O于B，P是線段DF上一動點，過P作PN⊥AB于N，PN與⊙O交于點Q，與DB交于點M．
（1）求證：FE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，AB=2，設DP=x，MN=y，求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）中，當x為何值時，PQ：PN=1：5．

Answer 1

（1）證明：連接OD，AD，則AD⊥BC；
∵D是BC的中點，
∴AC=AB，
∴∠C=∠OBD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠C=30°，
∴∠CDE=60°，∠NMB=90°-∠B=60°，
∴∠PDM=∠PMD=60°．
∴△PDM是等邊三角形．
∴PD=PM=DM=x．
∵∠OBD=30°，AB=2，
∴BD=．
∵∠OBD=30°，
∴BM=2y．
∴BD=BM+MD=2y+x=．
∴y=-x+（0＜x≤）．

（3）解：∵PQ：PN=1：5，
設PQ=a，則QN=4a，PN=5a
∵PD²=PQ•（PQ+2QM）=a•（a+8a），
∴PD=PM=3a，MN=PN-PM=2a，
根據（2）的函數關系式可得：2a=-×3a+，解得a=．
∴x=3a=．
分析：（1）連接OD，證OD⊥EF即可．
（2）由已知可得出三角形PDM是等邊三角形，因此DP=DM=x，根據AB的值，可在直角三角形ADB中，求出BD的長；在直角三角形MNB中，可用NM表示出BM的長，由此可根據BD=BM+DM求出y，x的函數關系式．
（3）本題可先設出PQ，PN的長，然后表示出PQ，PN，QN的長；根據切割線定理求出PD的表達式，即可求出PM，MN的表達式；然后將PM，MN的表達式代入（2）的函數關系式中，即可求出PM，PD即x的值．
點評：本題主要考查切線的判定，相似三角形的判定的運用．