Question

（2013•莆田模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，過D作DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AE=6，BF=4．①求⊙O的半徑；②求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據切線的判定推出即可．
（2）①推出△FOD∽△FAE，得出比例式，即可求出半徑．
②求出∠F=30°，求出∠BOD=60°，得出等邊三角形OBD，推出∠ABC=60°，根據等邊三角形判定推出即可．

解答：（1）
連接AD，OD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD過O，
∴EF是⊙O的切線．

（2）①解：設⊙O的半徑是R，
則FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，
∵OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，
∴

R

6

=

4+R

4+2R

，
即R²-R-12=0，
∵R為半徑，
∴R=4，R=-3（舍去），
即⊙O的半徑是4．

②證明：∵OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵FO=4+4=8，OD=4，
∴∠F=30°，
∴∠FOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，切線的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，圓周角定理，平行線性質，等腰三角形性質的應用，注意：經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．