Question

已知反比例函數y₁=（x＞0）的圖象經過點A（2，4）．
（1）求k的值，并在平面直角坐標系中畫出y₁=（x＞0）的圖象；
（2）方程x²+bx-k=0的根可看做y₁=的圖象與y₂=x+b的圖象交點的橫坐標．
依此方法，若方程x²+bx-k=0的一個實根為m，且滿足2＜m＜3，則b的取值范圍為______；
（3）方程x³-x-1=0的實數根x₀所在的范圍是n＜x₀＜n+1，根據以上經驗，可求出正整數n的值為______．

Answer 1

解：（1）將點A（2，4）代入反比例函數y₁=得，
k=2×4=8，
函數解析式為：y₁=；
列表得：

x	…	1	2	4	…
y	…	8	4	2	…

如圖；

（2）∵方程x²+bx-k=0的根可看做y₁=的圖象與y₂=x+b的圖象交點的橫坐標，且方程x²+bx-k=0的一個實根為m，滿足2＜m＜3，
∴當x=2時，y₁==4，當x=3時，y₁=，
∴y₁=的圖象與y₂=x+b的圖象一個交點在點（2，4）與（3，）之間，
∵當x=2，y=4時，2+b=4，
解得：b=2，
當x=3，y=時，3+b=，
解得：b=-，
∴b的取值范圍為：-＜b＜2；

（3）∵方程x³-x-1=0，
∴x²-1=，
∴它的根可視為y=x²-1和y=的交點的橫坐標，
當x=1時，x²-1=0，=1，交點在x=1的右邊，
當x=2時，x²-1=3，=，交點在x=2的左邊，
又∵交點在第一象限．
∴1＜x₀＜2，
∵實數根x₀所在的范圍是n＜x₀＜n+1，
∴n=1．
故答案為：（2）-＜b＜2，（3）1．
分析：（1）將點A（2，4）代入反比例函數解析式，即可求出k的值，從而得到反比例函數解析式．
（2）由方程x²+bx-k=0的一個實根為m，且滿足2＜m＜3，易求得y₁=的圖象與y₂=x+b的圖象一個交點在點（2，4）與（3，）之間，將其代入y₂=x+b，即可求得b的取值范圍；
（3）由方程x³-x-1=0，可得x²-1=，則可得它的根可視為y=x²-1和y=的交點的橫坐標，繼而求得實數根x₀所在的范圍是1＜x₀＜2，則可求得答案．
點評：此題考查了反比例函數的性質、待定系數法求反比例函數的解析式以及函數與方程的關系等知識．此題難度較大，注意掌握方程思想、函數思想與數形結合思想的應用．