Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），B（6，0）和C（0，4 ）三個點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點E（m，n）是拋物線上一個動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當四邊形OEBF的面積為24時，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

Answer 1

（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax²+bx+c得：，
解得：a=，b=-，c=4，
∴拋物線的解析式是y=x²-x+4．

（2）解：∵E在拋物線y=x²-x+4上，E（m，n），
∴E的坐標是（m，m²-m+4），
∵E在第四象限，且四邊形OEBF是平行四邊形，OB為對角線，
∴平行四邊形OEBF的面積等于2S_△OBE，
即S=2××OB×（-n），
∴S=2××6×（-m²+m-4）=-4m²+28m-24，
∵A（1，0），B（6，0），
∴m的范圍是1＜m＜6，
答：四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式是S=-4m²+28m-24，自變量m的取值范圍是1＜m＜6．

（3）解：根據題意得：S=-4m²+28m-24=24，
即m²-7m+12=0，
解得：m=3，m=4，
當m=3時，y=x²-x+4=-4，
當m=4時，y=x²-x+4=-4，
∵當O（0，0），E（3，-4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE==5，BE==5，
即OE=BE，
∴此時四邊形OEBF是菱形；
∵當O（0，0），E（4，-4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE==4，BE==5，
即OE和BE不相等，
∴此時四邊形OEBF不是菱形；
綜合上述，當四邊形OEBF的面積為24時，四邊形OEBF不是菱形．
分析：（1）把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax²+bx+c得出一個三元一次方程組，求出方程組的解即可；
（2）設E的坐標是（m，m²-m+4），根據平行四邊形性質得出平行四邊形OEBF的面積等于2S_△OBE，得出S=2××OB×（-n），代入即可求出S=-4m²+28m-24，根據A、B的坐標即可求出m的范圍；
（3）把S=24代入S=-4m²+28m-24，求出方程的解，即可求出E的坐標，根據勾股定理求出OE和BE的值，看看OE和BE是否相等即可．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，菱形的判定，勾股定理，三角形的面積的應用，主要檢查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題型較好，但是有一定的難度．