Question

已知反比例函數y=圖象過第二象限內的點A（-2，2），若直線y=ax+b經過點A，并且經過反比例函數y=的圖象上另一點B（m，-1），與x軸交于點M．
（1）求反比例函數的解析式和直線y=ax+b解析式．
（2）若點C的坐標是（0，-2），求△CAB的面積．
（3）在x軸上是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數圖象過第二象限內的點A（-2，2），
∴，
解得k=-4，
∴反比例函數的解析式為：．
∵點B（m，-1）經過反比例函數的圖象上，
∴，
解得m=4，
∴點B坐標為（4，-1）．
∵點A（-2，2）、點B（4，-1）經過直線y=ax+b，
∴，
解得．
∴一次函數的解析式為：；

（2）設一次函數與y軸的交點為N（0，1），則ON=1．
∵C點坐標為（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC=×3×2+×3×4=9；

（3）在x軸上存在點P，能使△PAO為等腰三角形．理由如下：
過A點作AD⊥x軸于D．
∵點A（-2，2），
∴OA=．
分三種情況：
①以O為頂點，OA為腰，則OP=OA=．
∵點P在x軸上，
∴P₁（2，0），P₂（-2，0）；
②以A為頂點，AO為腰，則AP=AO，
又∵AD⊥x軸，
∴AD為底邊OP的垂直平分線，
∴OP=2OD=2×2=4，
∵點P在x軸上，
∴P₃（-4，0）；
③以P為頂點，即以AO為底，作AO的垂直平分線交x軸于點P．
∵Rt△ADO中，AD=OD=2，
∴D在OA的垂直平分線上，
∴D與P重合，
∴P₄（-2，0）．
綜上可知，在x軸上存在點P₁（2，0），P₂（-2，0），P₃（-4，0），P₄（-2，0），能使△PAO為等腰三角形．
分析：（1）先將點A（-2，2）代入反比例函數的解析式y=，求出k=-4，再由反比例函數y=的圖象經過點B（m，-1），得到m=4，然后將A、B兩點的坐標代入直線y=ax+b，運用待定系數法即可求出直線的解析式；
（2）設一次函數與y軸的交點為N，先求出N點坐標，再根據S_△ACB=S_△ANC+S_△BNC，即可求解；
（3）分三種情況討論：①以O為頂點，OA為腰；②以A為頂點，AO為腰；③以P為頂點，即以AO為底，根據等腰三角形的性質及已知條件即可求解．
點評：本題是反比例函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求函數的解析式，三角形的面積的求法，等腰三角形的性質，第三問進行分類討論是解題的關鍵．