【題目】如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結論.
(3)點M是對稱軸上的一個動點,當△ACM的周長最小時,求點M的坐標及△ACM的周長.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2-
x-2,頂點D的坐標為
;
(2)△ABC是直角三角形,證明見解析;.
(3)△ACM的最小周長為,求點M的坐標為
.
【解析】試題分析:(1)根據待定系數法,可得函數解析式,根據配方法,可得頂點坐標;
(2)根據勾股定理的逆定理,可得答案;
(3)根據軸對稱的性質,兩點之間線段最短,可得M點是對稱軸與BC的交點,根據自變量與函數值的對應關系,可得答案.
試題解析:(1)∵點A(-1,0)在拋物線y=x2+bx-2上,
∴×(-1)2+b×(-1)-2=0,
解得b=-,
∴拋物線的解析式為y=x2-
x-2.
∵y=x2-
x-2=
(x-
)2-
,
∴頂點D的坐標為(,-
);
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
當x=0時,y=-2,
∴C(0,-2),則OC=2.
當y=0時, x2-
x-2=0,
∴x1=-1,x2=4,則B(4,0),
∴OA=1,OB=4,
∴AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)由題意A、B兩點關于對稱軸對稱,故直線BC與對稱軸的交點即為點M.
由B(4,0),C(0,-2)
設直線BC:y=kx-2
4k-2=0,
k=.
所以直線BC:y=x-2.
當x=時,y=
×
-2=-
.
所以M(,-
).
所以ΔACM最小周長是:AC+AM+MC=.
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【題目】用數學的方式理解“當窗理云鬢,對鏡貼花黃”和“坐地日行八萬里”(只考慮地球的自轉),其中蘊含的圖形變換是( )
A. 平移和旋轉 B. 對稱和旋轉 C. 對稱和平移 D. 旋轉和平移
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【題目】已知關于x的方程
(1)求證:無論m取任何實數時,方程恒有實數根;
(2)若關于x的二次函數的圖象與x軸兩交點間的距離為2,且拋物線的開口向上時,求此拋物線的解析式;
(3)在坐標系中畫出(2)中的函數圖象,分析當直線y=x+b與(2)中的圖象只有兩個交點時b的取值范圍.
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【題目】如圖是二次函數圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為直線x=﹣1,給出四個結論:①c>0;②若點B(-1.5,y1)、C(-2.5,y2)為函數圖象上的兩點,則y1<y2;③2a﹣b=0;④
<0.其中正確結論的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】 2018個不全相等的有理數之和為0,則這2018個有理數中( )
A. 至少有一個0B. 至少有1008個正數
C. 至少有一個是負數D. 至少有2017個負數
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=8cm,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別從B,C兩點同時出發,以1cm/s的速度沿BC,CD運動,到點C,D時停止運動,設運動時間為t(s),△OEF的面積為s(cm2),則s(cm2)與t(s)的函數關系可用圖象表示為( 。
A. (A) B. (B) C. (C) D. (D)
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