閱讀下面的材料:
小明遇到一個問題:如圖(1),在□ABCD中,點E是邊BC的中點,點F是線段AE上一點,BF的延長線交射線CD于點G.如果,求
的值.
他的做法是:過點E作EH∥AB交BG于點H,則可以得到△BAF∽△HEF.
請你回答:(1)AB和EH的數量關系為???? ,CG和EH的數量關系為???? ,的值為???? .
(2)如圖(2),在原題的其他條件不變的情況下,如果,那么
的值為???? (用含a的代數式表示).
(3)請你參考小明的方法繼續探究:如圖(3),在四邊形ABCD中,DC∥AB,點E是BC延長線上一點,AE和BD相交于點F. 如果,那么
的值為???? (用含m,n的代數式表示).
(1)3,2,;(2)
;(3)mn.
【解析】
試題分析:(1)過E點作平行線,構造相似三角形,利用相似三角形和中位線的性質,分別將各相關線段均統一用EH來表示,最后求得比值;
(2)先作EH∥AB交BG于點H,得出△EFH∽△AFB,即可得出,再根據AB=CD,表示出CD,根據平行線的性質得出△BEH∽△BCG,即可表示出
,從而得出
的值;
(3)先過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H,得出EH∥AB∥CD,根據EH∥CD,得出△BCD∽△BEH,再進一步證出△ABF∽△EHF,從而得出的值.
試題解析:(1)過點E作EH∥AB交BG于點H,
則有△ABF∽△HEF,
∴,
∴AB=3EH.
∵平行四邊形ABCD中,EH∥AB,
∴EH∥CD,
又∵E為BC中點,
∴EH為△BCG的中位線,
∴CG=2EH,
∴;
(2)作EH∥AB交BG于點H,則△EFH∽△AFB,
∴,
∴AB=aEH.
∵AB=CD,
∴CD=aEH.
∵EH∥AB∥CD,
∴△BEH∽△BCG.
∴,
∴CG=2EH.
∴;
(3)過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H,則有EH∥AB∥CD,
∵EH∥CD,
∴△BCD∽△BEH,
∴,
∴CD=nEH.
又,
∴AB=mCD=mnEH.
∵EH∥AB,
∴△ABF∽△EHF,
∴.
考點:相似形綜合題.
科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解
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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解
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科目:初中數學 來源:2013屆北京市西城區(北區)九年級上學期期末考試數學試卷(帶解析) 題型:解答題
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小明在學習中遇到這樣一個問題:若1≤x≤m,求二次函數的最大值.他畫圖研究后發現,
和
時的函數值相等,于是他認為需要對
進行分類討論.
他的解答過程如下:
∵二次函數的對稱軸為直線
,
∴由對稱性可知,和
時的函數值相等.
∴若1≤m<5,則時,
的最大值為2;
若m≥5,則時,
的最大值為
.
請你參考小明的思路,解答下列問題:
(1)當≤x≤4時,二次函數
的最大值為_______;
(2)若p≤x≤2,求二次函數的最大值;
(3)若t≤x≤t+2時,二次函數的最大值為31,則
的值為_______.
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科目:初中數學 來源:2013-2014學年北京海淀區九年級第一學期期中測評數學試卷(解析版) 題型:解答題
閱讀下面的材料:
小明在研究中心對稱問題時發現:
如圖1,當點為旋轉中心時,點
繞著點
旋轉180°得到
點,點
再繞著點
旋轉180°得到
點,這時點
與點
重合.
如圖2,當點、
為旋轉中心時,點
繞著點
旋轉180°得到
點,點
繞著點
旋轉180°得到
點,點
繞著點
旋轉180°得到
點,點
繞著點
旋轉180°得到
點,小明發現P、
兩點關于點
中心對稱.
(1)請在圖2中畫出點、
,
小明在證明P、
兩點關于點
中心對稱時,除了說明P、
、
三點共線之外,還需證明;
(2)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,當、
、
為旋轉中心時,點
繞著點
旋轉180°得到
點;點
繞著點
旋轉180°得到
點;點
繞著點
旋轉180°得到
點;點
繞著點
旋轉180°得到點
. 繼續如此操作若干次得到點
,則點
的坐標為(),點
的坐為.
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