Question

如圖，正方形ABCO的邊長為，以O為原點建立平面直角坐標系，點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點O順時針旋轉α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點D，且D為B₁C₁的中點，拋物線y=ax²+bx+c過點A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=______；拋物線的函數表達式是______；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2個單位長度的速度沿射線A₁O下滑，直至頂點B₁落在x軸上時停止．設正方形落在x軸上方部分的面積為S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①∵四邊形A₁B₁C₁O為正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中點，
∴．
∵由旋轉性質可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=．
∴tanα的值是．
②過點A₁作A₁E⊥x軸，垂足為點E．
在Rt△A₁EO中，tanα=，
∴．
設A₁E=k，則OE=2k，在Rt△A₁EO中，，
根據勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵點A₁在第二象限，
∴點A₁的坐標為（-2，1）．
直接寫出點B₁的坐標為（-1，3），點C₁的坐標為（1，2）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A₁，B₁，C₁．
∴
解得
∴拋物線的函數表達式為．

（2）將（1）的拋物線解析式配方，得．
∴拋物線的對稱軸是直線．
假設存在符合條件的點P，分三種情況：
①以點B₁為直角頂點；
易求得，直線A₁B₁的解析式：y=2x+5，
當x=-時，y=2×（-）+5=；
②以點C₁為直角頂點；
易求得，直線OC₁的解析式：y=2x，
當x=-時，y=2×（-）=-；
③以點P為直角頂點；
分別過點B₁、C₁作拋物線對稱軸的垂線，垂足為G、H；（如右圖）
設點P（-，y）：
當點P在直線B₁C₁上方時，
B₁G=1-=、PG=y-3、C₁H=1+=、PH=y-2
∵∠B₁PG=90°-∠C₁PH=∠PC₁H，∠B₁GP=∠PHC₁=90°
∴△B₁GP∽△PHC₁，則
解得：y=、y=（舍）；
當點P在直線B₁C₁下方時，同上，可求得y=；
綜上，存在點P，使△PB₁C₁為直角三角形．
滿足條件的點P共有4個：，，，．

（3）設運動后的正方形為O′A′B′C′，分三種情況：
①當點A′運動到x軸上時，t=；
當0＜t≤時，如圖①；
OO′=2t，O′E=OO′=t
∴S=S_正方形-S_△OO′E=5-×2t×t=-5t²+5；
②當點C′運動到x軸上時，t=1；
當＜t＜1時，如圖②；
OO′=2t，OA′=2t-，A′F=OA′=，O′E=OO′=t
B′F=A′B′-A′F=，C′E=O′C′-O′E=-t；
∴S=（B′F+C′E）×B′C′=（+-t）×=；
③當點B′運動到x軸上時，t=；
當1≤t＜時，如圖③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=，B′E=2B′F=3-2t；
∴S=××（3-2t）=5t²-15t+；
綜上，S=．

分析：（1）①在Rt△ODC₁中，由旋轉的性質知，∠DOC₁=α，而DC₁是正方形邊長的一半，可據此求出∠α的正切值；
②在求拋物線的解析式中，必須先求出A₁、B₁、C₁三點的坐標，可過這三點分別作坐標軸的垂線（具體向哪條坐標軸作垂線，可視情況而定），通過構建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出這三點的坐標，再利用待定系數法求函數解析式即可．
（2）首先要大致確定有幾個符合條件的點P：
①點B₁是直角頂點，那么點P必為直線A₁B₁與拋物線對稱軸的交點（有一個）；
②點C₁是直角頂點，那么點P必為直線OC₁與拋物線對稱軸的交點（有一個）；
③點P是直角頂點，那么點P必為以線段B₁C₁為直徑的圓與拋物線對稱軸的交點（有兩個），可過B₁、C₁作對稱軸的垂線，通過構建的相似三角形來求出點P的坐標．
（3）此題的思路并不復雜，但需要考慮的情況較多，大致分成三段考慮即可：
①x軸在O、A₁兩點之間、②x軸在A₁、C₁兩點之間、③x軸在B₁、C₁兩點之間．
點評：此題涉及的內容相等復雜，難度很大，主要考查的知識點有：函數解析式的確定、正方形的性質、圖形的旋轉、解直角三角形的應用、相似三角形與直角三角形的判定和性質以及圖形面積的解法等等．后兩題涉及的情況較多，一定要注意分類討論．最后一題中，一定要注意t的不同取值范圍內，正方形的運動位置．