Question

17．如圖，已知等邊△ABC的邊上為2，DE是它的中位線，則下面四個結論：①DE=1；②△CDE∽△CAB；③BC邊上的高為$\sqrt{3}$；④△CDE的面積與四邊形ADEB的面積之比為1：3，其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據圖形，利用三角形中位線定理，可得DE=1，①成立；DE是△CAB的中位線，可得DE∥AB，利用平行線分線段成比例定理的推論，可得△CDE∽△CAB；②成立；BC邊上的高，可利用勾股定理求出等于$\sqrt{3}$；③成立；由△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，那么它們的面積比等于相似比的平方，就等于1：4，于是得到△CDE的面積與四邊形ADEB的面積之比為1：3，（4）也成立．

解答 解：∵DE是它的中位線，∴DE=$\frac{1}{2}$AB=1，故①正確，
∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故（3）正確，
∴S_△CDE：S_△CAB=DE²：AB²=1：4，故（4）正確，
∵等邊三角形的高=邊長×sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，故（2）正確．
故選D．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、三角形中位線定理，關鍵在于推出DE∥BC．