Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3cm，DC=15cm，BC=24cm．點P從A點出發，沿A→D→C方向以1cm/s的速度向終點C勻速運動，同時點Q從C點出發，沿C→B方向以2cm/s的速度向終點B勻速運動．在整個運動過程中，△APQ的面積為S（cm²），點P運動的時間為t（s）．
（1）當t=2（s），t=4（s），t=16（s）時，求S的值；
（2）在整個運動過程中，求S與t的函數關系式；
（3）試確定當t為何值時，△APQ的面積S=27cm²；
（4）當點P在AD上，當t為何值時，△APQ是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以分別求出t=2（s），t=4（s），t=16（s）時S的值；
（2）分三種情況如圖1，圖2，圖3分別由三角形與梯形的面積公式就可以求出結論；
（3）將S=27分別代入解析式就可以求出結論；
（4）分兩種情況如圖4、圖5建立方程就可以求出結論．

解答：解：（1）當t=2時，
S=

2×15

2

=15；
當t=4時，
S=

(3+8)×15

2

-

3×1

2

-

14×8

2

=25；
當t=16時，
S=

(3+24)×15

2

-

3×13

2

-

2×24

2

=159

（2）如圖1，當0＜t≤3時，
S=

15t

2

；
如圖2，當3＜t≤12時
S=

15(3+2t)

2

-

3(t-3)

2

-

2t(18-t)

2

，
=t²-

9

2

t+27；
如圖3，當12＜t≤18時，
S=

(3+24)15

2

-

3(t-3)

2

-

24(18-t)

2

，
=

21

2

t-9．

（3）由題意，得
當

15t

2

=27時，
t=

18

5

＞3（舍去），
當t²-

9

2

t+27=27時，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

9

2

當

21

2

t-9=27時，
解得：t=

24

7

＜12（舍去），
∴t=

9

2

時，△APQ的面積S=27cm²；

（4）如圖4，當∠APQ=90°時
3-t=2t，
∴t=1，
如圖5，當∠PAQ=90°時
2t=3，
∴t=

3

2

．
∴當點P在AD上，當t=1或

3

2

時，△APQ是直角三角形．

點評：本題考查了三角形、梯形的面積公式的運用，分段函數的運用，由函數值確定自變量的值的運用，直角三角形的性質的運用，解答時求出二次函數的解析式是關鍵．