Question

探究、猜想、證明題：
觀察下列數據：
1×2×3×4+1=25=5²=（1²+3×1+1）²
2×3×4×5+1=121=11²=（2²+3×2+1）²
3×4×5×6+1=361=19²=（3²+3×3+1）²
4×5×6×7+1=841=29²=（4²+3×4+1）²
…
猜想：（1）5×6×7×8+1=1681=41²=（______²+______+______） ²
n（n+1）（n+2）（n+3）+1=______　　　　　　
證明：（2）四個連續自然數的乘積加上1是一個完全平方數．

Answer 1

解：1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，
得出規律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），
∴5×6×7×8+1=41²=（5²+3×5+1）²．
（2）根據（1）得出的結論得出：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
故答案為：5、15、1、（n²+3n+1）²．
分析：（1）觀察下列各式：1×2×3×4+1=52=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）2；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，得出規律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1），所以可得出5×6×7×8+1=（5²+3×5+1）²=41²；
（2）根據（1）得出的規律可得出結論．
點評：此題考查了完全平方數的知識，解答本題的關鍵是發現規律為n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²（n≥1），一定要通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，難度較大．