Question

七（1）班同學上數學活動課，他們對一個角的平分線作如下研究（如圖）．他們先用角尺做了平分這個角的方案設計：
（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，若移動角尺使角尺兩邊相同刻度的點與M、N重合，即PM=PN，則過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．
（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，若將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同刻度的點與M、N重合，即PM=PN，則過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．
（1）方案（Ⅰ）是否可行？答：______（填“行”或“不行”）；
（2）方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由．
（3）在活動過程中，小明說：“若設∠AOB=60°，自O點引射線OC，若∠AOC：∠COB=1：3，那么射線OC與∠AOB的平分線所成角的度數是多少呢？”請你通過求解告訴小明．

Answer 1

（1）解：不行；缺少證明三角形全等的條件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線；

（2）方案（Ⅱ）可行，
證明：在△OPM和△OPN中
∵，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對應角相等），
∴OP就是∠AOB的平分線．

（3）解：①若OC在∠AOB內部（如圖1），
∵∠AOC：∠COB=1：3，
∴設∠AOC=x，∠COB=3x，
∵∠AOB=60°，
∴x+3x=60°，
得x=15°，
即∠AOC=15°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∴∠COP=∠AOD-∠AOC=30°-15°=15°．
②若OC在∠AOB外部（如圖，2），
∵∠AOC：∠COB=1：3，
∴設∠AOC=x，∠COB=3x，
∵∠AOB=60°，
∴3x-x=60°，
得x=30°，
∴∠AOC=x=30°，∠COB=3x=3×30°=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=30°，
∴∠COP=∠AOC+∠AOP=30°+30°=60°．
∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數為15°或60°
分析：（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判斷P就是∠AOB的角平分線，關鍵是缺少△OPM≌△OPN的條件，只有“邊邊”的條件；
（2）方案（Ⅱ）中根據三邊對應相等的三角形可得△OPM和△OPN是全等三角形，則∠MOP=∠NOP，所以OP為∠AOB的角平分線；
（3）此題要分兩種情況進行討論，一種是OC在∠AOB內部；第二種情況是CO在∠AOB外部．
點評：此題主要考查了三角形全等以及角平分線，關鍵是要考慮全面，要注意各種情況，不要漏解．