Question

實踐與探索
我們知道對于|x-2|，當x=2時有最小值0；那么對于|x-1|+|3-x|來說，當x取多少時，整個式子有最小值呢？我們不妨這樣來考慮，先找零點1，3（即使x-1=0，3-x=0的值），再在同一數軸上表示出來，如

這樣就可以得到x＜1，1≤x＜3，x＞3三種情況：
①當x＜1時，則x-1＜0，3-x＞0，即|x-1|+|3-x|=1-x+3-x=4-2x＞2；
②當1≤x＜3時，則x-1≥0，3-x＞0，即|x-1|+|3-x|=x-1+3-x=2；
③當x≥3時，則x-1＞0，3-x＜0，即|x-1|+|3-x|=x-1+x-3=2x-4＞2；
綜上所述，當1≤x＜3時，|x-1|+|3-x|的最小值為2．
（1）請仿照上述過程求出|x+1|+|x-2|的最小值．
（2）試探索|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值．

Answer 1

分析：（1）分為三種情況：當x＜-1時，當-1≤x＜2時，當x≥2時去絕對值符號進行合并，即可得出答案；
（2）分為四種情況，去絕對值符號進行合并，即可得出答案．

解答：解：（1）∵①當x＜-1時，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=1-2x＞3，
②當-1≤x＜2時，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3=3，
③當x≥2時，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1＞3，
∴|x+1|+|x-2|的最小值是3．

（2）∵①當x＜-2時，|x-1|+|x+2|+|x-3|=1-x-x-2+3-x=2-3x＞8，
②當-2≤x＜1時，|x-1|+|x+2|+|x-3|=1-x+x+2+3-x=6-x，即5＜6-x≤8
③當1≤x＜3時，|x-1|+|x+2|+|x-3|=x-1+x+2+3-x=4+x，即5≤4+x＜7，
④當x≥3時，|x-1|+|x+2|+|x-3|=x-1+x+2+x-3=3x-2≥7，
∴|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值是5．

點評：本題考查了絕對值的應用，注意：正數的絕對值等于它本身，0的絕對值式0，負數的絕對值等于它的相反數．