【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點D在拋物線上且橫坐標為3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)點P為拋物線上一點,且∠DBP=45°,求點P的坐標.
【答案】(1)tan∠DBC=;
(2)P(﹣,
).
【解析】
(1)連接CD,過點D作DE⊥BC于點E.利用拋物線解析式可以求得點A、B、C、D的坐標,則可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形的性質、勾股定理和圖中相關線段間的關系可得BC=4,BE=BC﹣DE=
.由此可知tan∠DBC=
;
(2)過點P作PF⊥x軸于點F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中的結果得到:tan∠PBF=.設P(x,﹣x2+3x+4),則利用銳角三角函數定義推知
,通過解方程求得點P的坐標為(﹣
,
).
(1)令y=0,則﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,
解得 x1=﹣1,x2=4.
∴A(﹣1,0),B(4,0).
當x=3時,y=﹣32+3×3+4=4,
∴D(3,4).
如圖,連接CD,過點D作DE⊥BC于點E.
∵C(0,4),
∴CD//AB,
∴∠BCD=∠ABC=45°.
在直角△OBC中,∵OC=OB=4,
∴BC=4.
在直角△CDE中,CD=3.
∴CE=ED=,
∴BE=BC﹣DE=.
∴tan∠DBC=;
(2)過點P作PF⊥x軸于點F.
∵∠CBF=∠DBP=45°,
∴∠PBF=∠DBC,
∴tan∠PBF=.
設P(x,﹣x2+3x+4),則,
解得 x1=﹣,x2=4(舍去),
∴P(﹣,
)..
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(3,3),點B(4,0),點C(0,﹣1).
(1)以點C為中心,把△ABC逆時針旋轉90°,請在圖中畫出旋轉后的圖形△A′B′C,點B′的坐標為________;
(2)在(1)的條件下,求出點A經過的路徑的長(結果保留π).
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【題目】如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點在第一象限,且過點(0,1)和(﹣1,0).下列結論:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤當x>﹣1時,y>0,其中正確結論的個數是
A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
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【題目】如圖所示,老張利用國慶假日在某釣魚場釣魚,風平浪靜時,魚漂露出水面部分AB=6m,微風吹來時,假設鉛錘P不動,魚漂移動了一段距離BC,且項場恰好與水面平齊(即PAPC,水平線1與OC夾角a=8°(點A在OC上,則鉛錘P處的水深h為( 。▍⒖紨祿sin8°=,cos8°=
,tan8°=
)
A.150cmB.144cmC.111cmD.105cm
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【題目】如圖,等腰直角△ABC,OC=2,拋物線y=ax2+c過A,B,C三點,D為拋物線上一點,連接BD且tan∠DBC=.
(1)求直線BD和拋物線所表示的函數解析式.
(2)如果在拋物線上有一點E,使得S△EBC=S△ABD,求這時E點坐標.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是角平分錢,點E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求證:△DCE∽△BCA;
(2)若AB=3,AC=4.求DE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓O,交BC于點D,交AC于點E.
(1)求證:BD=CD.
(2)若弧DE=50°,求∠C的度數.
(3)過點D作DF⊥AB于點F,若BC=8,AF=3BF,求弧BD的長.
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【題目】現代互聯網技術的廣泛應用,催生了快遞行業的高度發展.據調查,太原市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司,今年九月份與十一月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12.1萬件.現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率;
(2)如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件,那么該公司現有的21名快遞業務員能否完成今年十二月份的快遞投遞任務?如果不能,請問至少需要增加幾名業務員?
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【題目】近代統計學的發展起源于二十世紀初,它是在概率論的基礎上發展起來的,但統計性質的工作可以追溯到遠古的“結繩記事”和《二十四史》中大量的關于我國人口、錢糧、水文、天文、地震等資料的記錄.現代數理統計的奠基人是英國數學家和生物學家費希爾,畢業于劍橋大學,長期在農業試驗站做生物實驗.費爾希在高等植物基因性狀研究實驗中,從若干紫花與白花中各隨機抽取20株測量高度(植株正常高度的取值范圍為
),過程如下:
收集數據(單位:):
紫花:42,42,28,54,29,52,44,36,39,49,33,40,35,52,29,32,51,55,42,38
白花植株高度為的數據有:35,37,37,38,39,40,42,42
整理數據:
數據分為六組:,
,
,
,
,
組別 | ||||||
紫花數量 | 3 | 2 | 5 | 1 | 5 |
分析數據:
植株 | 平均數 | 眾數 | 中位數 | 方差 |
紫花 | 41.1 | 42 | 41 | 8.8 |
白花 | 40.25 | 43 | 7.2 |
應用數據:
(1)請寫出表中 ,
;
(2)估計500株紫花中高度正常的有多少株?
(3)結合上述數據信息,請判斷哪種花長勢更均勻,并說明理由(一條理由即可).
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